第41期 排列与组合,简单计数问题-【数理报】2020-2021学年高中数学选修2-3(北师大版)

书书书 １．用数字１，２，３组成无重复数字的三位数相当于将 １，２，３全排列，共有Ａ３３ ＝６个． ２．展开式的通项公式为 Ｔｒ＋１ ＝Ｃ ｒ ５（ｘ ２）５－ｒ １( )ｘ ｒ ＝ Ｃｒ５ｘ １０－３ｒ，令１０－３ｒ＝１，所以ｒ＝３，系数为Ｃ３５ ＝１０． ３．由题可得２ｘ＝ｘ＋４或２ｘ＋ｘ＋４＝２５，得ｘ＝４ 或ｘ＝７． ４．五个人全排则有Ａ５５种结果，穿红色相邻或穿黄色 相邻有 ２Ａ２２Ａ ４ ４种，穿红色相邻且穿黄色也相邻，共 Ａ２２Ａ ２ ２Ａ ３ ３种，所以所求排法为 Ａ ５ ５ －２Ａ ２ ２Ａ ４ ４ ＋Ａ ２ ２Ａ ２ ２Ａ ３ ３ ＝ ４８种． ５．（ｘ－１）５＋５（ｘ－１）４＋１０（ｘ－１）３＋１０（ｘ－１）２＋５（ｘ －１） ＝Ｃ０５（ｘ－１） ５·１０＋Ｃ１５（ｘ－１） ４·１１＋Ｃ２５（ｘ－１） ３· １２＋Ｃ３５（ｘ－１） ２·１３＋Ｃ４５（ｘ－１） １·１４ ＝［（ｘ－１）＋１］５－１＝ｘ５－１． ６．５日至９日，分别为５，６，７，８，９，有３天奇数日，２天偶 数日， 第一步安排奇数日出行，每天都有２种选择，共有２３ ＝８种， 第二步安排偶数日出行，分两类，第一类，先选１天 安排甲的车，另外一天安排其他车，有２×２＝４种，第二 类，不安排甲的车，每天都有２种选择，共有２２ ＝４种，共 计４＋４＝８种， 根据分步乘法计数原理得不同的用车方案种数共有 ８×８＝６４种． ７．由题意ｎ＝２∫ ３ ０ｘｄｘ＋１＝２× １ ２ｘ ２ ３ ０＋１＝１０，即 二项式为 ｘ２－ １ ２槡 ( )ｘ １０ ，则展开式的通项为 Ｔｒ＋１ ＝ Ｃｒ１０（ｘ ２）１０－ｒ － １ ２槡 ( )ｘ ｒ ＝ －( )１２ ｒ Ｃｒ１０ｘ ２０－５２ｒ，当ｒ＝８时，得 到常数项为 －( )１２ ８ Ｃ８１０ ＝ ４５ ２５６． ８．第一步：从５本书中任意取出２本捆绑成一本书， 有Ｃ２５ ＝１０种，第二步：把４本书分给４位学生，有Ａ ４ ４ ＝ ２４种． 由分步乘法计数原理，共有１０×２４＝２４０种方法． ９．因为（ｘ＋１）ｎ ＝（１＋ｘ）ｎ，所以ａ＝Ｃ３ｎ，ｂ＝Ｃ ２ ｎ，依 题意得Ｃ３ｎ ＝３Ｃ ２ ｎ，即 ｎ（ｎ－１）（ｎ－２） ３×２×１ ＝ ３ｎ（ｎ－１） ２×１ ，解得 ｎ＝１１．所以ｂ＝Ｃ２１１ ＝ １１×１０ ２ ＝５５． １０．令ｘ＝０得ａ０ ＝１，由展开式的通项公式可知ａ１ ＝Ｃ９１０×２ １×（－１）９＝－２０，令ｘ＝１得ａ０＋ａ１＋… ＋ａ９ ＋ａ１０ ＝１，所以ａ２＋ａ３＋… ＋ａ９＋ａ１０＝１－１－（－２０） ＝２０． １１．分两步进行分析： 第一步：先将３个歌舞类节目全排列，有Ａ３３＝６种情 况，排好后，有４个空位； 第二步：因为３个歌舞类节目不能相邻，则中间２个 空位必须安排２个节目， 分２种情况讨论： ①将中间２个空位安排１个小品类节目和１个相声 类节目，有Ｃ１２Ａ ２ ２ ＝４种情况， 排好后，最后１个小品类节目放在２端，有２种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是６×４×２＝４８种； ②将中间２个空位安排２个小品类节目，有 Ａ２２ ＝ ２种情况， 排好后，有６个空位，相声类节目有６个空位可选，即 有６种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是６×２×６＝７２种． 所以同类节目不相邻的排法种数是４８＋７２＝１２０． １２．由于ａ５是二项式（２－ｘ） ５展开式中的ｘ５的系数， 所以ａ５ ＝－１； 令ｘ＝１得ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＝（２－１） ５＝ １； ① 令 ｘ＝－１得ａ０－ａ１＋ａ２－ａ３＋ａ４－ａ５＝（２＋１） ５ ＝２４３． ② 由① ＋②，得ａ０＋ａ２＋ａ４ ＝１２２， 由① －②，得ａ１＋ａ３＋ａ５ ＝－１２１，从而ａ１＋ａ３ ＝ －１２０． 所以 ａ０＋ａ２＋ａ４ ａ１＋ａ３ ＝ １２２－１２０＝－ ６１ ６０． 二、填空题 １３．０；　１４．６６；　１５．２ １０－１０５ ２ ；　１６．１０２０． 提示： １３．令ｘ＝０，有１＝ａ０；令ｘ＝１，有１＝ａ０＋ａ１＋… ＋ａ６，所以ａ１＋ａ２＋… ＋ａ６ ＝０． １４．由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个 数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况， 当取得４个偶数时，有Ｃ４４ ＝１种结果， 当取得４个奇数时，有Ｃ４５ ＝５种结果， 当取得２奇２偶时有Ｃ２４Ｃ ２ ５ ＝６０种结果， 所以共有１＋５＋６０＝６６种结果． １５．令ｘ＝－１，（－ａ＋１）５ ＝ａ０＋ａ１＋… ＋ａ８＋ａ９ ＝１０２４ａ＝－３； 令ｘ＝－３，（－３ａ＋１）５ ＝－ａ０＋ａ１＋… －ａ８＋ａ９； 即１０５ ＝－ａ０＋ａ１＋… －ａ８＋ａ９， 所以ａ０＋ａ２＋ａ４＋… ＋ａ８ ＝ ２１０－１０５ ２ ． １６．①若Ａ盒为空：这相当于５个球进入了