概率 复习导航-【数理报】2020-2021学年高中数学选修2-3《巩固提高一本通》(北师大版)

书书书 复习导言 随机变量及其分布是高中数学中的重要内容，与 排列、组合和概率的内容有较密切的联系．事件的概率 着眼于随机现象的局部问题，与此不同，随机变量的概 率及期望、方差则着眼于随机现象的整体和全局问题． 在复习中要注意这些相关内容的联系，应会熟练地求 解一些离散型随机变量的分布列、期望和方差等问题． 从觉“误”到觉悟 随机变量及其分布中概念繁多、知识晦涩、易混易 错．因此，在解答相关问题时，在不知不觉中，错误就会 乘虚而入，所以，对于随机变量及其分布中的解题错 误，觉“误”是关键，觉悟是目的．下面就通过几个典型 的错例，给同学们展示从觉“误”到觉悟的过程． 例１设ｌ为平面上过点（０，１）的直线，ｌ的斜率等可 能地取 － 槡２２，－槡３，－槡 ５ ２，０， 槡５ ２，槡３，槡２２，用ξ表示坐 标原点到ｌ的距离，求随机变量ξ的分布列． 错解：原点到以 －槡２２与 槡２２为斜率的直线的距离 为 １ ３，到以 －槡３与槡３为斜率的直线的距离为 １ ２，到以 －槡５２与 槡５ ２为斜率的直线的距离为 ２ ３，到以０为斜率的 直线的距离为１．因此，ξ的分布列为： ξ １３ １ ２ ２ ３ １ Ｐ １７ １ ７ １ ７ １ ７ 觉“误”：其实，当ξ＝１３时，Ｐ（ξ）＝ ２ ７；当ξ＝ １ ２ 时，Ｐ（ξ）＝２７；当ξ＝ ２ ３时，Ｐ（ξ）＝ ２ ７；当ξ＝１时， Ｐ（ξ）＝ １７． 觉悟：结合上述分析，可得ξ的分布列为： ξ １３ １ ２ ２ ３ １ Ｐ ２７ ２ ７ ２ ７ １ ７ 例２有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人 流量时，设在某一时刻，有ｎ个人正在使用电话或等待 使用的概率为Ｐ（ｎ），且与时刻ｔ无关，统计得到：Ｐ（ｎ） ＝ ( )１２ ｎ ·Ｐ（０），０≤ｎ≤５， ０， ｎ≥６ { ， 那么在某一时刻，这个 电话亭一个人也没有的概率Ｐ（０）的值为 ． 错解：由Ｐ（１）＋Ｐ（２）＋Ｐ（３）＋Ｐ（４）＋Ｐ（５）＝ １， 即 Ｐ（０） １ ２＋ １ ４＋ １ ８＋ １ １６＋ １( )３２ ＝１，可得 Ｐ（０）＝３２３１． 由于Ｐ（０）不可能大于１，因此，Ｐ（０）＝１． 觉“误”：条件中Ｐ（ｎ）实际上是告诉了分布列，随 机变量的取值是０，１，２，３，４，５．错解在应用分布列时出 错，漏掉随机变量可取０的情况，因而，造成求出 Ｐ（０） 大于１的结果． 觉悟：由Ｐ（０）＋Ｐ（１）＋Ｐ（２）＋Ｐ（３）＋Ｐ（４）＋ Ｐ（５）＝１， 即Ｐ（０）１＋１２＋ １ ４＋ １ ８＋ １ １６＋ １( )３２ ＝１， 可得Ｐ（０）＝３２６３． 例３从混有５件赝品的２０件字画中任意抽取２件， 其中一件经专家鉴定是赝品，求２件都是赝品的概率． 错解一：已确定一件是赝品，则在剩下的１９件中还 有４件赝品，因此，２件都是赝品的概率为 ４１９． 错解二：第一件是赝品的概率为 ５ ２０＝ １ ４，第二件 是赝品的概率为 ４ １９，所以２件都是赝品的概率为 １ ４ × ４ １９＝ １ １９． 觉“误”：上述错解主要是由于对条件概率和题意 不求甚解造成的，虽然题设条件是已知２件中有一件是 赝品，没说是哪一件，但根据２件都是赝品可知抽到的 第一件肯定是赝品，故所求概率是一个条件概率，是在“抽 到的第一件是赝品的条件下，第二件也是赝品的概率”． 觉悟：设Ａ表示：“抽到的第一件为赝品”，Ｂ表示： “抽到的第二件为赝品”，则Ｐ（ＡＢ）＝ Ｃ２５ Ｃ２２０ ＝ １１９，Ｐ（Ａ） ＝ Ｃ１１５Ｃ １ ５＋Ｃ ２ ５ Ｃ２２０ ＝１７３８，则２件都是赝品的概率为Ｐ（Ｂ｜Ａ） ＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ） ＝ １ １９× ３８ １７＝ ２ １７． 例４有一道概率题，甲、乙、丙三位同学解出的概 率分别为 １ ４， １ ２， ２ ５，则三位同学中确保有一位同学解 出的概率是 ． 错解：设甲、乙、丙解出该题分别为事件 Ａ，Ｂ，Ｃ，因 为每个同学解出这道题都是相互独立的，则三位同学 中确保有一位同学解出的概率是Ｐ（Ａ·Ｂ·Ｃ）＋Ｐ（Ａ· Ｂ·Ｃ）＋Ｐ（Ａ·Ｂ·Ｃ）＝１４× １ ２× ３ ５＋ ３ ４× １ ２× ３ ５ ＋３４× １ ２× ２ ５ ＝ ９ ２０． 觉“误”：三位同学中确保有一位同学解出，亦即至 少有一位同学解出，显然上述错解求的不是确保有一 位同学解出的概率，而是只有一人解出的概率，犯了张 冠李戴的错误． 觉悟：设甲、乙、丙解出该题分别为事件 Ａ，Ｂ，Ｃ，因 为每个同学解出这道题都是相互独立的，则三位同学 中确保有一位同学解出的概率是Ｐ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝１－ Ｐ（Ａ·Ｂ·Ｃ）＝１－３４× １ ２× ３ ５ ＝ ３１ ４０． 例５某保龄球手有５个球，投球一次“全中”（即球 一次将全部的木瓶击倒）的概率为０．６，如果投出“全 中”就停止投球，否则一直到５球投尽，求投出的球数ξ