计数原理 复习导航-【数理报】2020-2021学年高中数学选修2-3《巩固提高一本通》(北师大版)

书书书 我们已经知道，在日常生活、生产中有许多问题需 要“数出”个数来，例如某种汽车牌照号码组成方案下 所有可能的号码数，这就是所谓的计数问题．虽然用列 举所有各种可能性的方法，即一个一个地去数，可以求 出相应的数，但当这个数很大时，列举的方法很难实 施．为了不通过一个一个地数而确定出这个数，我们学 习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理．这是解 决计数问题的两个最基本、最重要的方法．应用这两个 计数原理，可以得到两类特殊计数问题的计数公式，即 排列数公式和组合数公式，应用它们就可以方便地解 决一些计数问题．作为计数原理与计数公式的一个应 用，我们还学习了在数学上有广泛应用的二项式定理． 专题一：分类计数原理与分步计数原理 分类计数原理与分步计数原理是研究“完成一件 事”方法数的重要工具，学习时先弄清“完成一件事” 的含义，知道题目中的“一件事”是什么事．“分类完成 一件事”是指做这件事可分为若干类方法，每类方法都 能独立完成这件事，各类方法是相互独立的．而“分步 完成一件事”是指完成这件事要分成几个步骤完成，各 个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算 完成，任何一个步骤都不能独立地完成这件事． 例１有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球６ 个，白色小球５个，黄色小球４个． （１）从盒子里任取１个小球，有多少种不同取法？ （２）从盒子里任取红、白、黄色小球各１个，有多少 种不同取法？ 点拨：（１）中“完成一件事”是“取出一球”； （２）中“完成一件事”是“取出红、白、黄色小球各 一个”． 根据已知条件利用分类计数原理与分步计数原理 解答即可． 解：（１）由分类计数原理知，有６＋５＋４＝１５（种） 方法． （２）由分步计数原理知，有６×５×４＝１２０（种）方 法． 点评：在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分 类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步” 的具体标准是什么，简单地说“分类互斥”、“分步互 依”，关键是看能否独立完成这件事，与此同时还要注 意分类、分步不能重复或遗漏． 例２有４名同学要争夺３个比赛项目的冠军，则冠 军获得者共有几种可能 （　　） （Ａ）４３　　　　　　　（Ｂ）３４ （Ｃ）４×３ （Ｄ）以上都不对 点拨：按照３个项目冠军的分配方法分步进行．本 题所完成的一件事是将３个比赛项目冠军分派完． 解：可分三步完成：第一项冠军有４种可能，第二项 冠军有４种可能，第三项冠军也有４种可能，故选（Ａ）． 点评：本题中“完成一件事”是“将３个比赛项目冠 军分派完”，而不是“４名学生各夺得３项冠军”！防止出 现：四名同学都可夺得３项冠军而选（Ｂ）的错误． 例３将３种作物种植在如 图所示的５块试验田里，每一 块种植一种作物且相邻的试 验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法共有多 少种？ 点拨：３种作物种在５块试验田里，也就是５块试验 田分别要种上作物，可分５份，从左到右一块一决的种， 即用两个计数原理计数求解． 解：设由左到右五块田中要种 ａ，ｂ，ｃ三种作物，不 妨先设第一块种 ａ，则第二块可种 ｂ，ｃ，有两种方法．同 理，如果第二块种 ｂ，则第三块可种 ａ和 ｃ，也有两种方 法，由分步乘法计数原理共有 １×２×２×２×２＝ １６（种）．其中要去掉ａｂａｂａ和ａｃａｃａ两种方法．故ａ种作 物种在第一块田中时有１６－２＝１４（种）方法．这是第 一类，还有两类即ｂ或ｃ也可种在第一块田中，而ｂ或ｃ 也种在第一块田中的方法和第一类相同，故不同的种 植方法共有１４×３＝４２（种）． 点评：本题中的计算实际上就是计数，计数就是数 数，但数的时候要讲究策略．逐一数来，称之为列举法 （枚举法），但当数目较大时，就必须按照一定的次序进 行计数，分类计数原理与分步计数原理是解决计数问 题的两大基本方法．如果题中既有列举又有分类，需通 过分类在列举中总结出规律，降低数数的盲目性． 专题二：排列与组合 １．排列、组合的基本概念 为了录求更简捷的计数方法，我们学习了排列、组 合的概念．判断一个具体问题是排列问题还是组合问 题，就看从ｎ个不同元素取出的ｍ（ｍ≤ｎ）个元素是有 序还是无序，有序是排列，无序是组合． 例４判断下列问题是排列问题还是组合问题？ （１）设集合Ａ＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ｝，则集合Ａ的含有３个 元素的子集有多少个？ （２）某铁路上有５个车站，则这条铁路线上共需准 备多少种车票？ （３）５名同学约定，假期里每两人互通一封信告诉 对方自己的情况，共需写信多少封？若互通一次电话告 诉对方自己的情况，共需打多少次电话？ 点拨：利用排列、组合的概念分析判断即可． 解：（１）３个元素组成的集合与元素的顺序无关， 所以是组合问题． （２）每一站点准备的车票与起点站终点站有关，即 与顺序有关，所以是排列问题． （３）两人之间