第1章 计数原理 章末整合提升-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

专题一　分类加法计数原理和分步乘法计数原理 应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成．而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成该事件，能完成便是分类，否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时应注意层次清晰，不重不漏．在分步时，要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响(是否是独立的)． [例1]　如图所示，从A地到B地有3条不同的道路，从B地到C地有4条不同的道路，从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路． (1)从A地到C地共有多少种不同的走法？ (2)从A地到C地再回到A地有多少种不同的走法？ (3)从A地到C地再回到A地，但返回时要走与去时不同的道路．有多少种不同的走法？ [解析]　(1)从A地到C地的走法分为两类：第一类经过B地，第二类不经过B地．在第一类中分两步完成，第一步从A地到B地，第二步从B地到C地，所以从A地到C地的不同走法总数是3×4＋2＝14种． (2)该事件发生的过程可以分为两大步：第一步去，第二步回．由(1)可知这两步的走法都是14种，所以去后又回来的走法总数是14×14＝196(种)． (3)该事件发生的过程与(2)一样可分为两大步，但不同的是第二步即返回时的走法比去时的走法少一种，所以，走法总数是14×13＝182(种)． 专题二　排列组合应用题 解决排列组合应用题的常见策略有以下几种：[来源:学+科+网] 1．合理分类，准确分步 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件： (1)类与类之间要互斥(保证不重复)； (2)总数要完备(保证不遗漏)． 也就是要确定一个合理的分类标准，应按事件发生的连贯过程进行分步，分步时必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性． 2．特殊优先，一般在后 解含有特殊元素、特殊位置的排列组合问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置的元素，再考虑其他元素与其他位置，也就是在解题过程中的一种主次思想． 3．直接排除，灵活选择 解决较复杂的排列组合问题的基本方法有两种，即直接法和排除法．直接法就是对问题进行分类求解，而排除法则先不管其中某些限制条件，求出其种数，再剔除不合题意部分即可，选择此种方法的依据是“正难则反”． 4．集团捆绑，间隔插空 (1)元素连排，捆绑为一 对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作1个“元素”，再与其他元素进行排列，同时对相邻元素进行自排． (2)元素间隔，分步插入 对于某些元素需要间隔的排列问题，可用“插空法”求解．求解时注意以下几点：①插入时必须分清“先插谁”，即先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；②数清可插的位置的个数；③插入时是以组合形式还是以排列形式插入要把握准确． [例2]　(1)某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，则不同派遣方案有________种． (2)现有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有________种． (3)在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目． ①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ ②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ [解析]　(1)因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案A种； ②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A种方法，所以共有3A； ③若乙参加而甲不参加同理也有3A种； ④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另两个城市有A种，共有7A种方法． 所以共有不同的派遣方法总数为A＋3A＋3A＋7A＝4 088(种)． (2)解法一：设计让3所学校依次挑选：先让学校甲挑选，有CC种；再由学校乙挑选，有CC种；余下到学校丙只有一种．于是不同的方法数共有CC·CC＝540(种)． 解法二：组成三个体检队：给甲医生配备2名护士，不同方法数为C；接着给乙医生配备2名护士，有C种方法；剩下的2名护士配备给丙医生，只有一种方法．故组成三个体检队的方法共有CC种．将三个体检队派往三个学校，每校1队，不同的分派方法有A＝6(种)．由分步乘法计数原理，满足题意的不同分配方法数为90×6＝540(种)． (3)①第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040种方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A＝24种方法． 根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)． ②第一步，将6个演唱节目排成一列(如图中的“□”)，一共有A＝720种方法．