专题05 二项式定理（专题测试）- 2020-2021学年高二下学期数学期末考点大串讲（苏教版）

专题测试 【基础题】 1、（2020·云南省云南师大附中高二月考） 的展开式中，含 的项的系数是（） A．-40 B．-25 C．25 D．55 【答案】B 【解析】 二项式 的展开式中的通项 ，含 的项的系数为 ，故选B. 2、（2020·河北衡水中学高二月考）已知二项式 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则 的系数为（ ） A．14 B． C．240 D． 【答案】C 【解析】 二项展开式的第 项的通项公式为 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得： . 解得： . 所以 令 ，解得： ，所以 的系数为 ，故选C 3、（吉林省吉化一中2017-2018学年高二上学期期末）在 的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是（ ） A.462 B.330 C.682 D.792 【答案】A 【解析】 的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于 ，则中间项的二项式系数是 . 故选A 4、（2020天津卷11）在 的展开式中， 的系数是_________． 【答案】10 【解析】 因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．所以 的系数为 ．故答案为： ． 5、已知 的展开式中含 的项的系数为30，则 A． B． C．6 D．－6 【答案】D 【解析】 ，令，可得 EMBED Equation.DSMT4 ，故选D． 6、（山东省潍坊市2018-2019学年高二下学期期末）已知二项式 展开式中的第7项是常数项. (1)求 ； (2)求展开式中有理项的个数. 【答案】（1） （2）展开式中的有理项共有3项 【解析】 （1）二项式展开式的通项为 第7项为常数项， （2）由（1）知 ， 若 为有理项，则 为整数， 为6的倍数， ，共三个数， 展开式中的有理项共有3项. 【提升题】 7、设 为虚数单位，则 的展开式中含 的项为 A．－15 B．15 C．－20 D．20 【答案】A 【解析】 通项 ，令 ，得含 的项为 ，故选A． 8、（2020·贵州省贵阳一中高二月考）在二项式 的展开式中,各项系数之和为 ,各项二项式系数之和为 ,且 ,则展开式中常数项的值为 A．18 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【解析】 令 ,可得各项系数之和 ;各项二项式系数之和 ;而 = ,解得 ;所以 ,其通项 = ,令 ,可得展开式中常数项为 .故选C. 9、（2020·枣庄市第三中学高二月考）对任意实数x，有 .则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 对任意实数x， 有 [﹣1+2（x﹣1）]9， ∴a2 22＝﹣144，故A正确； 故令x＝1，可得a0＝﹣1，故B不正确； 令x＝2，可得a0+a1+a2+…+a9＝1，故C正确； 令x＝0，可得a0﹣a1+a2+…﹣a9＝﹣39，故D正确；故选：ACD. 10、（2020·山东省日照实验高级中学高二月考）对于二项式 ，以下判断正确的有（ ） A．存在 ，展开式中有常数项； B．对任意 ，展开式中没有常数项； C．对任意 ，展开式中没有 的一次项； D．存在 ，展开式中有 的一次项. 【答案】AD 【解析】 设二项式 展开式的通项公式为 ， 则 ， 不妨令 ，则 时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误； 令 ，则 时，展开式中有 的一次项，故C答案错误，D答案正确。 故答案选AD 11、若将函数 表示为 ，其中 ， ， ，…， 为实数，则 ． 【答案】10 【解析】 法一：由等式两边对应项系数相等． 即：． 法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即． 法三： ，则 ． 12、（2020·枣庄市第三中学高二月考）在 的展开式中，x2项的系数为（ ） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【解析】在 的展开式中，通项公式为Tr+1 • . 对于 ，通项公式为Tk+1 •xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10. 令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k， 故k＝0，r＝2，故x2项的系数为 • 45，故选：B. 13、（陕西省黄陵中学高新部高二下学期开学考试）(1)设. ①求； ②求； ③求； (2)求除以9的余数． 【答案】（1）16，256，15；（2）7 【解析】： (1)①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16. ②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256， 而由(1)知a0