专题2.2 圆锥曲线【章节复习专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）

专题2.2 圆锥曲线【章节复习专项训练】 【考点1】 ：曲线和方程 例题1．（2020·上海市杨浦高级中学高二期末）已知命题“方程 的解为坐标的点都是曲线C上的点”是真命题，则下列命题正确的是（ ）. A．曲线C上的点的坐标都是方程 的解； B．坐标不满足方程 的点不在曲线上； C．曲线C是方程 的曲线； D．不是曲线C上的点的坐标，一定不满方程 . 【答案】D 【分析】根据曲线与方程的定义来解题即可. 【详解】因为方程 的解为坐标的点都是曲线C上的点， 不妨取方程 ，曲线取双曲线 对应的曲线， 则，双曲线的左支上的点的坐标不满足方程 ，故A错误； 双曲线的左支上的点的坐标不满足方程 ，但该点在双曲线 上，故B错误；由曲线与方程的定义可知，C选项错误； 因为以方程 的解为坐标的点都在曲线上，所以D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查曲线与方程的定义，属于概念辨析题. 【变式1】（2020·上海市金山中学高二期末）若曲线 上所有点的坐标都满足方程 ，则（ ） A．方程 是曲线 的方程 B．坐标满足方程 的点都在曲线 上 C．曲线 是方程 所表示的曲线 D．点的坐标满足方程 是点在曲线 上的必要条件 【答案】D 【分析】由曲线 上所有点的坐标都满足方程 ，但方程 的解对应的点不一定在曲线 上，逐一判断各选项即可得解. 【详解】解：由曲线 上所有点的坐标都满足方程 ， 则可得曲线 上所有点的坐标都满足方程 ，但方程 的解对应的点不一定在曲线 上， 即点的坐标满足方程 是点在曲线 上的必要条件， 故选：D. 【点睛】本题考查了曲线与方程，重点考查了充分必要条件，属基础题. 【变式2】（2020·上海高二期末）平面直角坐标系上动点 ，满足 ，则动点 的轨迹是（ ） A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆 【答案】B 【分析】由题意可知，动点 到两个定点的距离的和为6, 又两个定点的距离为6，即得结论. 【详解】设点 ， 动点 满足 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 又 ， ， 所以动点 的轨迹是线段. 故选： . 【点睛】本题考查平面内两点间的距离公式，属于基础题. 【变式3】（2021·上海市建平中学高二期末）已知 的顶点 、 ，若顶点C在抛物线 上移动，则 的重心的轨迹方程为__________. 【答案】 【分析】根据三角形重心的坐标公式，结合代入法进行求解即可. 【详解】设顶点C的坐标为 ，因为点C在抛物线 上，所以 ， 设 的重心的坐标为 ，所以有 ，代入 中得： ， 故答案为： 【变式4】（2020·上海市控江中学高二期末）平面上到两定点 与 的距离之和为 的动点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】记点 、 ，设所求点为 ，由 可得知点 的轨迹，进而可得出点 的轨迹方程. 【详解】记点 、 ，设所求点为 ，则 ， 则点 的轨迹为线段 ，即所求动点的轨迹方程为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题. 【变式5】（2020·上海曹杨二中高二期末）若方程 表示一个圆，则实数 的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意，由圆的一般方程的形式分析可得 ，解可得 的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，方程 表示一个圆， 则有 ， 解的 ，即 的取值范围为 ； 故答案为： ． 【点睛】本题考查二元二次方程表示圆的条件，涉及圆的一般方程，属于基础题． 【变式6】（2021·上海高二期末）已知定点 ， 和曲线 上的动点C. （1）求线段AB的垂直平分线的方程： （2）若点G是 的重心，求动点G的轨迹方程. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）求 的中点坐标和垂直平分线的斜率，由已知可得即为y轴； （2）设 ， ，则 ，由重心坐标公式得 代入 可得答案. 【详解】（1） 的中点的坐标为 ，且 在x轴上关于原点对称，所以线段AB的垂直平分线即为y轴，方程为 . （2）设 ， ，则 ，由重心坐标公式得 ， 所以 ，代入 得 ，即 ， 所以动点G的轨迹方程为 . 【考点2】 ：圆的方程 例题2．（2021·上海市莘庄中学高二期末）图中曲线的方程可以是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图像可知曲线的方程是 或 ,即可得出结论． 【详解】由图像可知曲线的方程是 或 , 故选:C． 【点睛】本题考查了根据图像求曲线的方程,解题关键是掌握圆的标准方程和直线方程,考查了分析能力,属于基础题. 【变式1】（2021·上海高二期末）若方程 表示的曲线是圆，则实数 的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用方程 表示的曲线是圆可得出关于实数 的不等式，由此可解得实数 的取值范围