专题08利用导数研究函数与不等式-2020-2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习（苏教版选修2-2）

2020—2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习 08 利用导数研究函数与不等式 【例题精讲】 一、函数导数与恒成立问题 例1．若不等式在，上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】， 【解析】设在，上恒成立，故，故，， ，，，故在，递增，故，． 例2．若对于恒成立，当时，的最小值为 ；当时，的最小值是 ． 【答案】1， 【解析】令，则，令，解得：， 令，解得：，故在递增，在递减，故（1）， 若对于恒成立，只需在即可， ①时，，故的最小值是1， ②时，令，解得：， 取最小值时，直线在轴的截距最大，令，解得：，故， 即的最小值是． 例3．当时，关于不等式恒成立，求整数的最大值． 【解析】解：设，则对恒成立， ， 当时，，函数递增，则（1），符合题意； 当时，由得， 则函数在区间，递减，在区间，上递增， 则． 设（a），则（a） 2，其中其中． 所以（a）， 所以当时（a）递减， 因为（7），（8）， 所以满足条件的的最大整数是7． 例4．已知函数，对于任意的，，，都有，求实数的取值范围． 【解析】解：的导数为，由，解得， 可得在递增，在递减，在递增， 则的极大值为，极小值为（1），又，（2）， 可得在，的最大值为1，最小值为，则， 由任意的，，，都有，可得，即． 例5．若对任意正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】(0，1] 【解析】不等式对、恒成立，可得， 可设，可得，， 由和在递减，可得在递减， 则（1），当时，（1），递减； 时，（1），递增，可得在处取得极大值，且为最大值(1)，则，即，解得． 例6．是否存在，对任意，使得成立，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由．（参考数据：， 【解析】解：对任意，使得成立， 可化为，令，则， ，．令，则， 在上为增函数，（2），（3）， 故存在唯一的，使得，即， 当时，，，在上为减函数； 当，时，，，在，上为增函数． ， ，，，，，的最大值为8． 例7．已知函数．若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】解：令，则， 令，则， 当时，，，所以，函数在，上是增函数， 所以，所以， ①当时，，所以函数在，上是增函数， 所以，即对任意，，不等式恒成立． ②当时，，由，得， ， 当，时，，即， 所以函数在，上是减函数， 所以，即，不合题意． 综上，所以实数的取值范围是，． 例8．已知函数，．若对恒成立，求实数的取值范围． 【解析】解：因为，所以， 即对任意恒成立，设，则， 所以，当时，，函数单调递增，当时，， ①若，则， ②若，因为，且在上单调递增，所以， 综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立． 设，，则，所以在单调递增， 所以（1），即的取值范围为，． 例9．已知函数，，，若对任意的，，，当时，恒成立，则实数的最大值为 ． 【答案】 【解析】函数，，，，在，上单调递增， ，恒成立，等价于， 即恒成立，设，则 在，为增函数，在，上恒成立，恒成立，设， 在，上恒成立，在，上单调递增，在，上的最小值为（2）， ， 的最大值为． 二、函数导数与存在性问题 例1．已知函数，，实数，满足，若，，，使得成立，则的最大值为 A．4 B． C． D． 【答案】A 【解析】，，当时，，为减函数， 当时，，为增函数，故当时，取最小值2， 由在时，取最大值6，令，则，或， 作两个函数的图象如图所示： 由图可得：的最大值为． 例2．已知函数，，若对任意，存在，，使，则实数的取值范围是 ． 【答案】， 【解析】函数，， 若，，为增函数；若，或，为减函数； 在上有极值，在处取极小值也是最小值 (1)；，对称轴，，， 当时，在处取最小值（1）； 当时，在处取最小值（b）； 当时，在，上是减函数，（2）； 对任意，存在，，使， 只要的最小值大于等于的最小值即可， 当时，，解得，故无解；当时，，解得． 例3．已知函数，若关于的不等式（其中解集中恰有两个整数，则的取值范围是 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】，，令，解得， 故在 单调递减，在 单调递增，， 令，要使恰有两个整数，故在的上方，作出图象 又（1），，（1），， 因为，故，必不能存在整数解使，而，由图象只需满足 ，综上所述，． 例4．已知函数，存在，，使成立，求实数的取值范围． 【解析】解：， 在，，使成立，即函数在，上的最小值小于0， ， ①当，即时，在，上单调递减， 所以在，上的最小值为（1）， 所以，不符，舍去； ②当，即时，在，上单调递增， 所以在，上的最小值为， 所以，又，所以； ③当，即时，在，上单调递减，在，上单调递增， 所以在，上的最小值为， 因为，所以，所以， 所以， 所以，不符，舍去， 综上可得，的取值范围是，．