专题07切线有关的问题-2020-2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习（苏教版选修2-2）

2020—2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习 07 切线有关的问题 【例题精讲】 一、在某点处与过某点的切线的求法 例1．已知函数，若曲线在点(1，)处的切线与直线平行，则 ． 【答案】﹣2 【解答】，，令， ，可取但此时在点(1，)处的切线为，故舍去． ，可取． 例2．已知函数．求过坐标原点且与函数的图象相切的直线方程． 【解析】解：设切点坐标为（x0，y0）， 当a＝2时，f（x）x3+2x2+4x，则f′（x）＝x2+4x+4， 故切线方程为y24x0＝（4x0+4）（x﹣x0）， 又过原点（0，0）， 故24x044x0，解得：x0＝0或x0＝﹣3， 当x0＝0时，切线方程是y＝4x， 当x0＝﹣3时，切线方程是y＝x． 例3．已知函数．求实数的值，使得倾斜角为、在轴上截距为的直线是函数图象的切线． 【解析】解：因为直线的倾斜角为，故直线的斜率，又直线在轴上截距为， 所以直线的方程为，设切点为， 函数，则， 因为是函数图象的切线， 所以，解得，所以或． 二、两条切线的位置关系 例1．若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，，所以， 由，得，当时，，， 当时，，，当时，不符合题意． 当时，由题意可得，解得； 当时，由题意可得，无解．即的取值范围为． 例2．已知函数，，，曲线上总存在两点，，，使曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为 A．， B． C． D． 【答案】B 【解答】函数，导数． 由题意可得，，且．即有， 化为，而，， 化为对，都成立，令，，， 由，当且仅当取得等号，， ，即的取值范围是． 例3．（多选）已知函数，若在和处切线平行，则 A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意知， 因为在和处切线平行，所以， 即，由于，，可得 ，则，正确； 由基本不等式及，可得，即，错误； ，错误；，正确． 三、函数的公切线问题 例1．若曲线在点P，处的切线与曲线相切于点Q，，则 A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】的导数为，可得曲线在点，处的切线方程为 ，的导数为，可得在点，处的切线的方程为 ，由两条切线重合的条件，可得，且， 则，即有，可得，则． 例2．若函数与函数有两条公切线，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，设与相切的切点为，， 与曲线相切的切点为，，则有公共切线斜率为， 又，，可得，且， 化为，，设，， ，当时，递增，当时，递减， 则在处取得最小值，且为，由题意可得， 解得，即． 例3．已知函数，，若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，则 ，切线的方程为 （直线的方程写成一般式）． 【答案】， 【解析】函数，，．，， 由已知得，解得，，两条曲线交点的坐标为，． 切线的斜率为，切线的方程为．即． 四、与切线有关的新定义问题 例1．已知函数的图象在点，处的切线方程，若函数满足（其中为函数的定义域），当时，恒成立，则称为函数的“穿越点”．已知函数在，上存在一个“穿越点”，则的取值范围为 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】根据若函数满足（其中为函数的定义域）， 当时，恒成立， 利用二阶导函数为0，求解：，显然只有当时有解，其解就为“穿越点”横坐标，故，由题意，，故． 例2．（多选）若以曲线上任意一点为切点作切线，曲线上总存在异于点的点，使得以点为切点的切线满足l∥l′，则称曲线具有“可平行性”．下列曲线具有“可平行性”的是 A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设的值域为，由题意，曲线具有“可平行性”等价于对任意的，方程至少有两个根，对于，由且，得，此方程有两个不同的根，符合题意； 对于，由时，的取值唯一，只有0，不合题意； 对于，由和三角函数的周期性可知，的解有无穷多个，符合题意； 对于，，令，则有，当△时解唯一，不合题意． 例3．（多选）在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图象在点处的切线经过点，在点处的切线经过点．若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是 A．曲线在点处的切线方程为 B． C．曲线关于点对称 D．当时， 【答案】ABC 【解析】因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以正确； 因为的图象经过，，所以有两个零点0，4，故可设，，由，（4），可得，，所以，正确； 由，所以曲线关于点对称，正确； 当时，有，，所以，即不正确． 五、利用切线计算点到直线距离最短问题 例1．曲线上任意一点到直线的最短距离为 ． 【答案】 【解析】点是曲线上任意一点，当过点的切线和直线平行时，点到直线