专题1.3 复数【知识梳理】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）

专题1.3 复数【知识梳理】 一、复数的概念与运算 1、理解复数的有关概念 （1）虚数单位 :它的平方等于-1，即 . （2）复数的定义与表示： 形如 的数叫复数， 叫复数的实部，记作 ； 叫复数的虚部， 记作 ；全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即 ，把复数表示成 的形式，叫做复数 的代数形式. （3）复数的分类以及复数与实数、虚数、纯虚数及 的关系： 对于复数 ，当且仅当 时，复数 是实数 ，； 当 时，复数 叫做虚数；当 且 时， 叫做纯虚数； 当且仅当 时， 就是实数0. （4）两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等. 这就是说，如果 、 、 、 ，那么 SHAPE \* MERGEFORMAT （5）复数集与其它数集之间的关系： . （6）共轭复数： 实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称这两个复数互相共轭.复数 的共轭复数用 表示，也就是当 时， .虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. SHAPE \* MERGEFORMAT 　. （7）复数的模： 复数 在复平面内所对应的点 到坐标原点的距离叫做复数 的模，记作 . 由模的定义，可知 . 2、理解复数的有关运算及性质 （1）复数的四则运算：设 ，则 ①加减： ； ②乘法： ； ③除法： . （2）共轭复数的运算： 　　① ； ② ；　③ ； ④ ； 　　 ⑤ ； ⑥ ； 　⑦若z为纯虚数 ；⑧ . （3）模的运算： 　　① ； ② ； ③ ； ④ ； 　　⑤ （当z≠0时， ）； 　*⑥ ； 　　⑦ ； 　 ⑧非零复数 ， ， 对应向量 （矩形的对角线相等）. SHAPE \* MERGEFORMAT 　 （4） 重要结论： ①对复数 和自然数 有 ； ② ， ， ， ； ， ， ， ； ③ ， ；④ ； ⑤ 1的立方根是 ； 的立方根是 . SHAPE \* MERGEFORMAT 3、理解复数的几何意义 (1)复平面的有关概念：实轴是 轴,虚轴是 轴；与复数 一一对应的点是 ； 非零复数 与复平面上自原点出发以点 为终点的向量 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离