1.2 应用举例提高练-2020-2021学年高二数学精选新题汇编（人教A版必修5）

2020-2021学年人教A版高二数学必修五精选新题汇编（提高） 第一章《解三角形》 1.2 应用举例 一．选择题 1．（2020秋•合肥期末）等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形．例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，．根据这些信息，可求得cos144°的值为（　　） A． B． C． D． 解：由图形知，∠A＝36°，且∠A＝18°， sin18°； ∴cos36°＝1﹣2sin218＝1﹣2×（）2； ∴cos144°＝cos（180°﹣36°）＝﹣cos36°． 故选：C． 2．（2020秋•抚顺期末）我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为α，那么tan（　　） A． B． C． D． 解：D由题意可知小正方形的边长为1，大正方形的边长为5， 设直角三角形短的直角边为x，则长的直角边为x+1， 由勾股定理得x2+（x+1）2＝25， 解得x＝3， 所以， 则． 故选：D． 3．（2020秋•龙凤区校级期末）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，现将底与腰之比或腰与底之比为的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形．如图，△ABC，△BCD，△ADE都是黄金三角形，若AB＝2，则DE＝（　　） A． B． C．2 D． 解：由题意，即BC1， ∵， ∴DC＝2， 由题意黄金三角形它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形， 可知∠A＝36°，△ABC等腰三角形， ∴∠CBD＝108°，△BCD等腰三角形， 则∠BCD＝36°， 那么∠ECD＝72°， ∵△ADE都是黄金三角形， ∴∠ECD＝72°， 则DC＝DE， 所以DE＝2． 故选：C． 4．（2021•浙江模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AD的三等分点（靠近点A）．现以EC为折痕，将△CDE翻折得到△CD'E，设∠BED'＝θ，则在翻折的过程中cosθ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解：由题意可得D'的轨迹是以AC为直径的圆的一部分，线段ED'的轨迹是圆锥的侧面的一部分． 当点D'落在平面ABCD内时， 设ED'与BC的交点为F，易得F是BC的三等分点（靠近点B），连接EF， 可得∠BEF≤θ≤∠BED，则cos∠BEF≥cosθ≥cos∠BED， 因为ED＝CD＝CF＝EF＝2，∠ADC＝90°， 所以四边形EDCF是正方形，则∠DEF＝90°， 因此cos∠BEF＝cos∠EBA， cos∠BED＝cos（∠BEF+90°）＝﹣sin∠BEF， 则cosθ∈[，]， 故选：A． 5．（2021•十三模拟）在△ABC中，BCAC，∠BAC＝60°，点D与点B分别在直线AC的两侧，且AD＝1，DC，则BD长的最大值是（　　） A．4 B．3 C．6 D．4 解：在△ABC中，设AC＝x，由BCAC，可得BCx， 由∠BAC＝60°，可得，即， 所以sin∠ABC，∠ABC＝30°，所以∠ACB＝90°， 在△ACD中，设∠ADC＝θ，可得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cosθ， 即x2＝1+3﹣2cosθ＝4﹣2cosθ， 由，所以xsin∠ACD＝sinθ， 在△BCD中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD， 即BD2＝3x2+3﹣2•xcos（90°+∠ACD）＝3x2+3+6xsin∠ACD＝3x2+3+6sinθ ＝3（4﹣2cosθ）+3+6sinθ＝15+6sinθ﹣6cosθ＝15+12sin（θ﹣60°）≤27， 当θ＝90°+60°＝150°时，BD长取得最大值3， 故选：B． 6．（2021•十八模拟）某公司计划建设一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域ABCD，其中三角形区域ABC中，AB＝2百米，BC＝4百米，三角形区域ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，现计划在三角形区域BCD内修建水上项目，则△BCD的最大面积为（　　） A．（3+4）平方百米 B．（3+2）平方百米 C．（4+2）平方百米 D．（4+2）平方百米 解：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设|CA|＝r，∠BCA＝θ， 则点A的坐标为（rcosθ，rsinθ），点D的坐标为（rcos（θ），rsin（θ））， 所以△BCD的面积为S△BCDrsin（）