1.2 应用举例基础练-2020-2021学年高二数学精选新题汇编（人教A版必修5）

2020-2021学年人教A版高二数学必修五精选新题汇编（基础） 第一章《解三角形》 1.2 应用举例 一．选择题 1．（2020秋•龙凤区校级期末）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，现将底与腰之比或腰与底之比为的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形．如图，△ABC，△BCD，△ADE都是黄金三角形，若AB＝2，则DE＝（　　） A． B． C．2 D． 解：由题意，即BC1， ∵， ∴DC＝2， 由题意黄金三角形它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形， 可知∠A＝36°，△ABC等腰三角形， ∴∠CBD＝108°，△BCD等腰三角形， 则∠BCD＝36°， 那么∠ECD＝72°， ∵△ADE都是黄金三角形， ∴∠ECD＝72°， 则DC＝DE， 所以DE＝2． 故选：C． 2．（2020秋•湖北期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．已知大正方形边长为10，小正方形边长为2．设较小直角边a所对的角为α，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 解：由题意可得：a+2＝b，a2+b2＝102， 解得a＝6，b＝8． ∴tanα． 故选：B． 3．（2020秋•全国Ⅰ月考）如图所示，某旅游景区的B，C景点相距2km，测得观光塔AD的塔底D在景点B的北偏东45°，在景点C的北偏西60°方向上，在景点B处测得塔顶A的仰角为45°，现有游客甲从景点B沿直线去往景点C，则沿途中观察塔顶A的最大仰角的正切值为（塔底大小和游客身高忽略不计）（　　） A． B． C．1 D． 解：由题意可得∠DBC＝45°，∠DCB＝30°，BC＝2， 故△DBC中，由正弦定理得， 所以． 当游客甲到达E处时，仰角为∠AED且． 因为AD为定长，所以当DE的长最小时，tan∠AED取最大值． 故当DE⊥BC时，tan∠AED最大，在Rt△DEB中，DE＝BD•sin45°． 在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，所以AD＝BD． 所以． 故选：A． 4．（2021•十三模拟）在△ABC中，BCAC，∠BAC＝60°，点D与点B分别在直线AC的两侧，且AD＝1，DC，则BD长的最大值是（　　） A．4 B．3 C．6 D．4 解：在△ABC中，设AC＝x，由BCAC，可得BCx， 由∠BAC＝60°，可得，即， 所以sin∠ABC，∠ABC＝30°，所以∠ACB＝90°， 在△ACD中，设∠ADC＝θ，可得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cosθ， 即x2＝1+3﹣2cosθ＝4﹣2cosθ， 由，所以xsin∠ACD＝sinθ， 在△BCD中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD， 即BD2＝3x2+3﹣2•xcos（90°+∠ACD）＝3x2+3+6xsin∠ACD＝3x2+3+6sinθ ＝3（4﹣2cosθ）+3+6sinθ＝15+6sinθ﹣6cosθ＝15+12sin（θ﹣60°）≤27， 当θ＝90°+60°＝150°时，BD长取得最大值3， 故选：B． 5．（2019秋•富平县期末）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上．则旗杆的高度为（　　） A．米 B．15米 C．20米 D．米 解：如图所示， 依题意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°﹣60°﹣15°＝105°， ∴∠EAC＝180°﹣45°﹣105°＝30°， 由正弦定理知， ∴ACsin45°＝10（米）， ∴在Rt△ABC中，AB＝AC•sin∠ACB＝1015（米）． 故选：B． 6．（2020秋•湖南月考）在直角三角形ABC中，∠C，BC＝1，点M在边AC上，且AM＝2MC，则tan∠MBA的最大值为（　　） A． B． C．1 D． 解：有已知BC＝1，令CM＝x（x＞0）， 则tan∠ABC＝3x，tan∠MBC＝x， 因为∠MBA＝∠ABC﹣∠MBC， 所以， ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：B． 7．（2019秋•太原期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且BC边上的高为，若sinC＝ksinB，则当k取最小值时，内角A的大小为（　　） A． B． C． D． 解：因为sinC＝ksinB，所以k，不妨设c≥b，则k≥1， 因为BC边上的高为，所以abcsinA，即a