专题04 排列、组合（知识点串讲）- 2020-2021学年高二下学期数学期末考点大串讲（苏教版）

专题04 排列、组合（知识点串讲） 知识整合 1、 完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2、完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 例 1 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】B 【解析】 由题意可知有6种走法，有3种走法，由乘法计数原理知，共有 种走法，故选B． 例2、用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答) 【答案】　1 080 【解析】 ①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C·C·A＝960. ②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120. 故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)． 【跟踪练习】 1、从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)． 【答案】：18　6 【解析】 一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数． 2、如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有________种． 【答案】：32 【解析】 根据题意知，a，b，c的取值范围都是区间[7,14]中的8个整数，故公差d的范围是区间[－3,3]中的整数．①当公差d＝0时，有C＝8种；②当公差d＝±1时，b不取7和14，有2×C＝12种；③当公差d＝±2时，b不取7,8,13,14，有2×C＝8种；④当公差d＝±3时，b只能取10或11，有2×C＝4种．综上，共有8＋12＋8＋4＝32种不同的分珠计数法． 【解题技巧】利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步，分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解. 知识整合 1、排列与排列数 从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有的排列个数叫做排列数，记作． 2、组合与组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有的组合个数叫做组合数，记作． 3、排列数与组合数公式 ； ． 例 3、（1）（2020·江苏省徐州一中高二月考）下列关系中，能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】 对A，令，可得等式不成立，故A错误； 对B，利用组合数的计算公式知正确，故B正确； 对C，利用排列数与组合数的定义，故C正确； 对D，∵，故D正确； 故选：BCD. （2）方程3A＝2A＋6A的解为________． 【答案】5 【解析】 由排列数公式可知 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， ∵x≥3且x∈N*，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝(舍去)， ∴x＝5. 例4、（2020山东卷3）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有 （ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】 首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去并场馆，故不同的安排方法共有种，故选C． 例5、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是 A．232