专题十七 概率统计简答题（含解析）-2021届高三（新高考）二轮复习专项训练

专题十七：概率统计简答题专项训练（解析版） 1．（2021·湖南高三月考）2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场､流动商贩列为文明城市测评考核内容.6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎.现有甲､乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为，乙在A点的命中率为1﹣p(0<p≤)，在B点的命中率为1﹣2p，且他们每次套圈互不影响. （1）若甲在A处套圈3次，求甲至多命中1次的概率； （2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为X，乙的得分为Y，写出X和Y的分布列和期望； （3）在（2）的条件下，若EX>EY，求p的范围. 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望分别为：； （3）(，]. 【详解】 解：（1）设“甲至多命中1次”为事件C，则P(C)=， 故甲至多命中1次的概率为. （2）由题意知，X=0，2，3，5，Y=0，2，3，5， P(X=0)=，P(X=2)=P(X=3)=，P(X=5)=， P(Y=0)=[1﹣(1﹣p)][1﹣(1﹣2p)]=2p2， P(Y=2)=(1﹣p)[1﹣(1﹣2p)]=2p﹣2p2， P(Y=3)=[1﹣(1﹣p)](1﹣2p)=p﹣2p2， P(Y=5)=(1﹣p)(1﹣2p)=2p2﹣3p+1， ∴X的分布列为 X 0 2 3 5 P Y的分布列为 X 0 2 3 5 P 2p2 2p﹣2p2 p﹣2p2 2p2﹣3p+1 ∴E(X)=0×+2×+3×+5×=， E(Y)=0×2p2+2×(2p﹣2p2)+3×(p﹣2p2)+5×(2p2﹣3p+1)=5﹣8p. （3）∵EX>EY， ∴>5﹣8p，即p>， ∴p的取值范围是(，]. 2．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券.为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的. 使用过政府消费券 没使用过政府消费券 总计 45岁及以下 90 45岁以上 总计 200 （1）请将题中表格补充完整，并判断是否有的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？ （2）为配合政府消费券的宣传，现需该市45岁及以下的3位市民参与线上访谈.用随机抽样的方法从该市45岁及以下市民中每次抽取1人，共抽取3次，每次抽取的结果相互独立.记抽取的3人中“没使用过政府消费券”的人数为，以样本频率作为概率，求随机变量的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）表格答案见解析，有的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：. 【详解】 解：（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为人， 没使用过政府消费券的人数为人， 完成表格如下： 使用过政府消费券 没使用过政府消费券 总计 45岁及以下 90 30 120 45岁以上 50 30 80 总计 140 60 200 由列联表可知， 因为， 所以有的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关. （2）由题意可知，从该市45岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人， 没使用政府消费券的频率为，所以， 的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 3．（2021·湖南高三二模）“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲､乙在相同的条件下轮流射击.每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分.已知甲､乙每次射中的概率分别为，且各次射击互不影响. （1）经过1轮射击打靶，记甲､乙两人的得分之和为X，求X的分布列； （2）试问经过第2轮还是第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高？并说明理由. 【答案】（1）分布列答案见解析；（2）经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的