单元检测卷(四) 导数及其应用-【满分金卷】2022新高考数学总复习必刷题单元能力提升卷

单元检测卷(四) 1.D ∵f(x)=x2cosx ∴f'(x)=2xcosx-x2sinx.故选D. 2.B 由已知,当x=1时,y=0,故切点为(1,0). y'=ex(1-x-1)=-xex.则y'|x=1=-e, 所以k=-e,故切线方程为y=-e(x-1), 即ex+y-e=0.故选B. 3.D 因为f'(x)=sinx+xcosx, 所以f' π2 =sinπ2+π2cosπ2=1.故选D. 4.B ∵f(x)=2xf'(1)-lnx, ∴f'(x)=2f'(1)-1x , 令x=1得,f'(1)=2f'(1)-1,则f'(1)=1, ∴f'(x)=2-1x , ∴f' 1e =2-11 e =2-e,故选B. 5.D 由f(x)=3sinx+4cosx, 得f'(x)=3cosx-4sinx, ∴f'(0)=3,又f(0)=4, ∴切线l的方程为3x-y+4=0, 令x=0,解得切线l在y 轴上的截距b=4, 令y=0,解得切线l在x 轴上的截距a=-43 , ∴直线l与坐标轴围成的三角形面积S=12|a||b|= 8 3. 故选D. 6.B 令G(x)=f (x) ex , 则G'(x)=f' (x)-f(x) ex =2x-1, 可设G(x)=x2-x+c,则G(0)=f(0)=0, ∴c=0,所以G(x)=f (x) ex =x2-x, 则不等式f(x)<12ex 等价于f (x) ex <12,所以x2-x<12, 解得-3<x<4, 所以不等式的解集为(-3,4).故选B. 7.A 若函数f(x)=(x-2)ex-ax有两个极值点, 则f'(x)=ex+(x-2)ex-a=(x-1)ex-a=0有两个不 相等的实数根, 即a=(x-1)ex 有两个不相等的实数根, 令h(x)=(x-1)ex, h'(x)=ex+(x-1)ex=xex, 当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增, h(x)min=h(0)=-1,h(1)=0,当x→-∞时,h(x)→0. 所以函数h(x)大致图象为 所以a∈(-1,0),故选A. 8.C 先 求 出 导 函 数 f'(x),因 为 函 数 f(x)=e x x - tlnx+x+2x 恰有两个极值点,所以方程f'(x)=0恰有 两个正根,即方程ex-t(x+2)=0有唯一正根,等价于函 数g(x)= e x x+2 与函数y=t的图象在(0,+∞)上只有一个 交点,且交点横坐标不等于1,利用导数得到函数g(x)的单 调性,数形结合,即可求出t的取值范围. 9.ACD 设f(x)=xex,x>1,则f'(x)=(x+1)ex>0在(1, +∞)上恒成立,故函数单调递增, 故f(a)>f(b),即aea>beb,故A正确; 设g(x)=lnxx ,x>1,则g'(x)=1-lnx x2 ,函数在(1,e)上单 调递增,在(e,+∞)上单调递减, 故当1<b<a<e时,g(a)>g(b),即lnaa > lnb b ,故alnb< blna,故B错误; 设h(x)=xlnx,x>1,则h'(x)=lnx+1>0在 (1,+∞) 上恒成立, 故函数单调 递 增,故h(a)>h(b),即alna>blnb,故 C 正确; 设k(x)=e x x (x>1),则k'(x)=e x(x-1) x2 >0在 (1,+∞) 上恒成立,故函数单调递增, 故k(a)>k(b),即e a a > eb b ,故bea>aeb,故D正确. 故选ACD. 10.ABC 函数f(x)=x3-3x2+2x, 令f(x)=0,即x(x-1)(x-2)=0, 解得x=0,或x=1或x=2, 故函数f(x)有3个零点,故A正确; f(1+x)+f(1-x)=0,故B正确; 令f'(x)=3x2-6x+2=0, 解得x=3± 33 , 故f(x)在 -∞,3- 33 上单调递增, 在 3- 3 3 ,3+ 3 3 上单调递减,在 3+ 33 ,+∞ 上 单 调 递增, 函数f(x)的极大值点为x=1- 33 ,故C正确, 假设存在实数a,使g(x)=f(x)[f(x)+a]为增函数 则g'(x)=f'(x)[2f(x)+a]>0恒成立,由C选项推导过 程可知,当x∈(-∞,3- 33 )时,f'(x)>0恒成立,但显然 2f(x)+a=2x3-6x2+4x+a不可能恒大于0. 故不存在实 数a,使 得 函 数g(x)=[f(x)]2+af(x)= f(x)[f(x)+a]为增函数,故D错误. 故选ABC. 11.ABD 由导数的正负可知,原函数在(-1,0)上单调递增, (0,2)上单调递减,所以B正确; 函数在(2,4)