单元检测卷(十) 数列的综合应用-【满分金卷】2022新高考数学总复习必刷题单元能力提升卷

4.解:(1)由于数列{an}是公比大于1的等比数列,设首项为 a1,公比为q,依题意有 a1q+a1q 3=20 a1q 2=8 ,解得 a1=2,q=2, 所以 an=2 n,所以数列{an}的通项公式为an=2 n. (2)由于21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27= 128,所以b1 对应的区间为(0,1],则b1=0; b2,b3 对应的区间分别为(0,2],(0,3],则b2=b3=1,即有2 个1; b4,b5,b6,b7 对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7], 则b4=b5=b6=b7=2,即有2 2 个2; b8,b9,…,b15对应的区间分别为(0,8],(0,9],…,(0,15], 则b8=b9=…=b15=3,即有2 3 个3; b16,b17,…,b31对 应 的 区 间 分 别 为(0,16],(0,17],…,(0, 31],则b16=b17=…=b31=4,即有2 4 个4; b32,b33,…,b63对 应 的 区 间 分 别 为(0,32],(0,33],…,(0, 63],则b32=b33=…=b63=5,即有2 5 个5; b64,b65,…,b100对应的区间分别为(0,64],(0,65],…,(0, 100],则b64=b65=…=b100=6,即有37个6. 所以S100=1×2+2×2 2+3×23+4×24+5×25+6×37 =480. 单元检测卷(十) 1.C ∵a1=2 1+2,a2=2 2+2,a3=2 3+2,a4=2 4+2,a5=2 5 +2,∴an=2 n+2,故选C. 2.B ∵Sn=2an-3(n∈N *),∴当n=1时,S1=a1=2a1-3, 解得a1=3. 当n≥2时,Sn-1=2an-1-3.两式相减得an=2an-2an-1, 即an=2an-1,∴ an an-1 =2. ∴数列{an}是等比数列,首项为3,公比为2. ∴S6=3× 1-26 1-2=189 ,故选B. 3.B 设数列{an}的公差为d, 有 a1+d=2a1 (a1+d) 2+(a1+4d) 2=a21+(a1+3d) 2+48 , 解 得 a1 =d=2,所 以 an =2n,所 以 bn = 1 2n(2n+2)= 1 4 1 n- 1 n+1 , Sn = 1 4 1- 1 2 + 12-13 +…+ 1n- 1n+1 = 1 4 1- 1 n+1 = n4n+4∈ 18,14 , 故B错误,CD正确.又S4= 4 4×4+4= 1 5 ,故A正确. 故选B. 4.C 由an= Sn n +2 (n-1)(n∈N*)得Sn=nan-2n(n-1), 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1), 整理得an-an-1=4, 所以{an}是公差为4的等差数列,又a1=1, 所以an=4n-3(n∈N *),从而Sn+3n= n(a1+an) 2 +3n= 2n2+2n=2n(n+1), 所以 1 Sn+3n = 12n(n+1)= 1 2 1 n- 1 n+1 , 所以数列 1 Sn+3n 的 前10项 的 和 T10= 12 1-111 = 5 11. 故选C. 5.C 因为y=lnx是(0,+∞)上的单调递增函数,由ln(2an) ≤ln(an-1+an+1)(n≥2,n∈N*),可得2an≤an-1+an+1(n ≥2),即an-an-1≤an+1-an(n≥2),所以a2-a1≤a3-a2 ≤a4-a3≤a5-a4≤a6-a5,则3(a6-a5)≥(a3-a2)+(a4 -a3)+(a5-a4)=a5-a2.故选C. 6.B ∵f(x)=f(4-x)对任意自变量x都成立, ∴函数对称轴为x=2, 因为f(a8)=f(a493),∴a8+a493=4, S500= 500(a1+a500) 2 =250 (a1+a500)=250(a8+a493)=250 ×4=1000 故选B. 7.C 由题意,数列{an}满足an+1=a 2 n- 4 9 ,即a2n=an+1+ 4 9 , 且an<0 若a4=- 4 9 ,则a23=a4+ 4 9=- 4 9+ 4 9=0 ,则a3=0,因 为an<0,所以不符合题意; 若a4=- 1 2 ,则a23=a4+ 4 9=- 1 2+ 4 9=- 1 18 ,此时不 成立; 若a4=- 1 3 ,则a23=a4+ 4 9=- 1 3+ 4 9= 1 9 ,因为an<0, 所以a3=- 1 3 , 由a22=a3+ 4 9=- 1 3+ 4 9= 1 9 ,因 为an<0,所 以a2= -13 , 又由a21=a2+