单元检测卷(十二) 空间向量与立体几何-【满分金卷】2022新高考数学总复习必刷题单元能力提升卷

22.解:(1)由2Sn+an=3, ① 得2Sn-1+an-1=3(n≥2), ② 由①-②得,2an+an-an-1=0,即an= 1 3an-1 (n≥2), 对①取n=1得,a1=1≠0,所以an≠0,所以 an an-1 =13 为 常数, 所以{an}为等比数列,首项为1,公比为 1 3 , 即an= 1 3 n-1 (n∈N*); (2)由an= 1 3 n-1 ,可得对于任意n∈N*有 bn+ 1 3bn-1+ 1 3 2 bn-2+…+ 1 3 n-1 b1= 1 3 n-1 + 3n-3, ③ 则bn-1 + 1 3bn-2 + 1 3 2 bn-3 + … + 1 3 n-2 b1 = 1 3 n-2 +3(n-1)-3(n≥2), ④ 则④ × 13 得,1 3bn-1+ 1 3 2 bn-2+ 1 3 3 bn-3+ … + 1 3 n-1 b1= 1 3 n-1 +n-2(n≥2), ⑤ 由③-⑤得,bn=2n-1(n≥2), 对③取n=1得,b1=1也适合上式, 因此bn=2n-1(n∈N *), (3)由(1)(2)可知,cn=anbn= 2n-1 3n-1 , 则cn+1-cn= 2n+1 3n -2n-1 3n-1 =4 (1-n) 3n , 所以当n=1时c1=c2, 当n≥2时,cn+1<cn,即{cn}在n≥2且n∈N *上单调递减, 故c1=c2>c3>c4>c5>…, 假设存在三项cs,cp,cr 成等差数列,其中s,p,r∈N *, 由于c1=c2>c3>c4>c5>…,不妨设s<p<r, 则2cp=cs+cr(*), 即2(2p-1) 3p-1 =2s-1 3s-1 +2r-1 3r-1 , 因为s,p,r∈N*且s<p<r,则s≤p-1且p≥2, 由数列{cn}的单调性可知,cs≥cp-1,即 2s-1 3s-1 ≥2p-3 3p-2 , 因为cr= 2r-1 3r-1 >0, 所以2(2p-1) 3p-1 =2s-1 3s-1 +2r-1 3r-1 >2p-3 3p-2 , 即2(2p-1) 3p-1 >2p-3 3p-2 ,化简得p<72 , 又p≥2且p∈N*,所以p=2或p=3, 当p=2时,s=1,即c1=c2=1,由r≥3时,cr<c2=1,此时 c1,c2,cr 不构成等差数列,不合题意, 当p=3时,由题意s=1或s=2,即cs=1,又cp=c3= 5 9 , 代入(*)式得cr= 1 9 , 因为数列{cn}在n≥2且n∈N * 上单调递减,且c5= 1 9 , r≥4,所以r=5, 综上所述,数列{cn}中存在三项c1,c3,c5 或c2,c3,c5 构成 等差数列. ▶对接高考 1.A 解法一:∵ca = 5 ,∴c= 5a,根据双曲线的定义可得 ||PF1|-|PF2||=2a, S△PF 1 F 2 =12|PF1| ·|PF2|=4,即|PF1|·|PF2|=8, ∵F1P⊥F2P,∴|PF1| 2+|PF2| 2=(2c)2, ∴(|PF1|-|PF2|) 2+2|PF1|·|PF2|=4c 2,即a2-5a+ 4=0,解得a=1, 故选A. 解法二:S△PF 1 F 2 = b 2 tanθ2 = b 2 tan45°=4 , ∴b2=4,∵c2=a2+b2,e=ca = 5 ,∴5a2=a2+4,∴a=1. 2.A 由题意可知,a、b、c∈(0,1) a b = log53 log85 =lg3lg5 ·lg8 lg5 < 1 lg25 · lg3+lg8 2 2 = lg3+lg8 2lg5 2 = lg24lg25 2 <1,∴a<b; 由b=log85,得8 b=5,由55<84,得85b<84,∴5b<4, 可得b<45 ; 由c=log138,得13 c=8,由134<85,得134<135c, ∴5c>4,可得c>45. 综上所述,a<b<c.故选A. 3.解:(1)由题意可得,a2=3a1-4=9-4=5,a3=3a2-8=15 -8=7, 由数列{an}的前三项可猜想,数列{an}是以3为首项,2为 公差的等差数列,即an=2n+1, 证明如下: 当n=1时,a1=3成立; 假设n=k时,ak=2k+1成立. 那么n=k+1时,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3= 2(k+1)+1也成立. 则对任意的n∈N*,都有an=2n+1成立; (2)由(1)可知,an·2 n=(2n+1)·2n Sn=3×2+5×2 2+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1) ·2n, ① 2Sn=3×2 2+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(