单元检测卷(十五) 平面解析几何综合测试-【满分金卷】2022新高考数学总复习必刷题单元能力提升卷

∴△ODE 面积为S△ODE= 1 2a×2b=ab=8 ∵双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0) ∴其焦距为2c=2 a2+b2≥2 2ab=2 16=8 当且仅当a=b=2 2时取等号 ∴C的焦距的最小值为8. 故选B. 3.ACD 对于A,若 m>n>0,则 mx2+ny2=1可化为x 2 1 m + y2 1 n =1, 因为m>n>0,所以1m< 1 n , 即曲线C表示焦点在y 轴上的椭圆,故A正确; 对于B,若m=n>0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n , 此时曲线C表示圆心在原点,半径为 nn 的圆,故B错误; 对于C,若mn<0,则mx2+ny2=1可化为x 2 1 m +y 2 1 n =1, 此时曲线C表示双曲线, 由mx2+ny2=0,可得y=± -mn x ,故C正确; 对于D,若m=0,n>0,则mx2+ny2=1可化为y2=1n ,即 y=± nn ,此时曲线C表示平行于x 轴的两条直线,故D正 确.故选ACD. 4.解析:∵y2=4x,∴F(1,0),∴y= 3(x-1), 代入抛物线方程,得3x2-10x+3=0,∴x1+x2= 10 3 , ∴|AB|=x1+x2+2= 16 3. 答案:16 3 5.解:(1)由题意,可得 c a = 2 2 4 a2 +1 b2 =1 a2=b2+c2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 , 解得 a2=6 b2=3 c2=3 ,故椭圆方程为x 2 6+ y2 3=1. (2)设点 M(x1,y1),N(x2,y2). 因为AM⊥AN,所以 y1-1 x1-2 ·y2-1 x2-2 =-1. 整理可得y1y2-(y1+y2)+1=-x1x2+2(x1+x2)-4 ① 设 MN 的方程为y=kx+m, 联立直线与椭圆方程, 可得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0, ∴x1+x2=- 4km 2k2+1 ,x1x2= 2m2-6 2k2+1 , y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)= 2m 2k2+1 , y1y2=(kx1+m)(kx2+m)= m2-6k2 2k2+1 , 代入①式有(m2-6k2)-2m+(2m2-6)-2(-4km)+ 5(2k2+1)=0, 化简可得,4k2+8km+(m-1)(3m+1)=0, 即(2k+m-1)(2k+3m+1)=0, 据此可得,m=1-2k或m=-2k-13 , 所以直线MN 的方程为y=kx+1-2k或y=kx+-1-2k3 , 即y=k(x-2)+1或y=k x-23 -13, 所以直线过定点(2,1)或 23 ,-13 . 又因为(2,1)和A 点重合,所以舍去, 则直线过定点E 23 ,-13 . 由于AE 为定值,且△AED 为直角三角形,AE 为斜边, 所以AE 中点Q 满足|QD|为定值 AE 长度的一半12 2- 2 3 2 + 1+13 2 =2 23 . 由于A(2,1),E 23 ,-13 , 故由中点坐标公式可得Q 43 ,1 3 . 单元检测卷(十五) 1.A ∵直线l1:2x+y-2=0,l2:ax+4y+1=0,l1∥l2, ∴2a= 1 4≠ -2 1 ,解得a=8.故选A. 2.A ∵y2=4x, ∴抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,故选A. 3.C 因为(x+1)2+(y-2)2=2的圆心坐标为(-1,2),半 径为r= 2,因 此 圆 心 到 直 线 x-y-1=0的 距 离 d= |-1-2-1| 12+(-1)2 =2 2,因此点P 到直线x-y-1=0距离的 最大值为d+r=3 2,故选C. 4.D 由双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a, 又|PF1|=3|PF2|, 得|PF2|=a,|PF1|=3a; 在Rt△PF1F2 中,|F1F2| 2=|PF1| 2+|PF2| 2, ∴4c2=a2+9a2,即2c2=5a2,又c2=a2+b2, ∴2b2=3a2.即b= 62a , ∴双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1的一条渐近线方程为y= 62x. 故选D. 5.D 圆C:x2+y2-6x-8y-11=0 化成标准方程可得(x-3)2+(y-4)2=36 所以圆C的半径为r=6 因为点 M,N 在圆C 上, 动点P 满足|PM|=|PN|且PM⊥PN 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示: 则△PMC≌△PNC,即∠MPC=∠NPC=45° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋