专题12 分类讨论思想-备战2021届高考数学解题方法和数学思想专练

专题12 分类讨论思想 【方法指导】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等． (4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等． (5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法． (6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 分类讨论的原则:(1)不重不漏;(2)标准要统一，层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 解分类问题的步骤:(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论;(2)对所讨论的对象进行合理的分类;(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决;(4)归纳总结：将各类情况总结归纳. 【例题解读】 【典例1】 （2021·浙江高一期末）记 ，设 ，则 成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【分析】 根据 的正负可得 ，分别在 、 和 三种情况下，解不等式求得 的范围，由此得到 的解集，由推出关系可得结果. 【详解】 ， 当 时， ；当 时， ； 则 ； 当 时， ， ，解得： ； 当 时， ， ，解得： ； 当 时， ， ，无解； 综上所述： 的解为： 或 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 是 成立的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 结论点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集； （2）若 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集； （3）若 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等； （4）若 是 的既不充分又不必要条件， 则 对应的集合与 对应集合互不包含． 【典例2】 （2021·江西高三其他模拟（理））已知函数 在 处取得最小值，且 ，则实数 的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据 在 处取得最小值，得 ，且 ，再由当 时 ，结合 得 ，解得 ，最后结合 得 ，即可得到结果． 【详解】 由函数 在 处取得最小值得 ，则 且 当 时 ，又 ， 所以 ，得 ． 又 ，所以 ， 即 ，整理得 ， ，解得 ． 综上， . 故选：C． 【点睛】 关键点睛：求解分段函数与方程、不等式问题的交汇问题，关键是依据自变量的不同范围或参数的不同范围分类讨论求解，最后还要根据讨论对象的不同（是对自变量进行的分类讨论还是对参数进行的分类讨论）来确定最终结果． 【典例3】（2021·北京西城区·高三一模）在无穷等差数列 中，记 ，则“存在 ，使得 ”是“ 为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 由 ，只能判断 与 的大小关系，无法证得 为递增数列，充分性不成立；由递增数列性质知只需 即可说明 ，必要性成立，由此得到结论. 【详解】 若存在 ，使得 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ， 当 为奇数时，只需 ，即 ； 当 为偶数时，只需 ，即 ； 即此时只能判断 与 的大小关系，无法得到 为递增数列，充分性不成立； 当 为递增数列时， EMBED Equation.DSMT4 ， 只需 ，即 为奇数，即可满足 ，必要性成立； “存在 ，使得 ”是“ 为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，解题关键是能够结合 的表达式确定 ，分析确定与数列单调性之间的关系. 【典例4】（2021·全国高三其他模拟）已知 ， 在 上恒成立，则