专题11 化归与转化思想-备战2021届高考数学解题方法和数学思想专练

专题11 化归与转化思想 【方法指导】 1、化归与转化的思想方法，一般是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答的一种方法.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化，用框图可以直观地表示为： 2、化归与转化思想在数学中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等，各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 3、转化与化归思想遵循的原则： (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. (3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决. 【例题解读】 【典例1】（2021·云南高三二模（文））已知函数 ，若 ，且 ，设 ，则（ ） A． 没有最小值 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【答案】B 【分析】 先作出分段函数图象，再结合图象由 ，得到m与n的关系，消元得关于n的函数，最后求最值. 【详解】 如图，作出函数 的图象， 且 ，则 ，且 ， ，即 . 由 ，解得 . ， 又 ， 当 时， . 故选：B. 【点睛】 （1）分段函数的图象一般分段来画，在画各段图象时要注意端点实虚. （2）多变量问题研究的核心就是要减少变量，将多变量问题化归于单变量问题.根据变量间的关系消元或整体换元将多变量化归单变量是解决此类问题的常用方法. 【典例2】（2021·六盘山高级中学高三二模（文））已知点 ， ， ， ， ，如果直线 ， 的斜率之积为 ，记 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由直线 ， 的斜率之积为 ，可得点 的轨迹方程，然后结合椭圆的性质与正弦定理边角互化可求解. 【详解】 因为直线 ， 的斜率之积为 ， 所以 ，整理得 ，则点 的轨迹为焦点在 轴的椭圆（除左右顶点），所以 ， 为椭圆的焦点， 由正弦定理可得， . 故选：C 【典例3】（2021·安徽合肥市·高三二模（文））如图，在 中，D，E是AB边上两点， ，且 ， ， ， 的面积成等差数列.若在 内随机取一点，则该点取自 的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由向量关于得 ，利用等差数列求得图形三角形的面积比，最后利用面积型概率公式计算． 【详解】 因为 ，所以 ， ， 因为 ， ， ， 的面积成等差数列. 设面积依次为 ，则 ，则 ， 所以 ， ， ， 的面积依次为 ， 所求概率为 ． 故选：A． 【典例4】（2021·山东德州市·高三二模）已知 ， 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上任意一点，过 作 平分线的垂线，垂足为 ，则点 到直线 的距离的取值范围是______． 【答案】 【分析】 延长 交 于点 ，由角平分线性质可知， ，即可列出等式，确定点 的轨迹，转化圆周上的点到直线的距离的取值范围． 【详解】 解：如图，延长 交 于点 ，连接 ，因为 为 的平分线，且 ，所以 为 的中点， 为 的垂直平分线，所以 ，在 中， 、 分别为 、 的中点，所以 ，设 点坐标为 ，所以 ，圆心为 ，半径 ，圆心 到直线 的距离 ，所以点 到直线 的距离的取值范围是 故答案为： 【专题训练】 一、单选题 1．（2021·河南新乡市·高三三模（理））若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据指数与对数的关系得到 ， ，再根据两角差的正切公式计算可得； 【详解】 解：因为 ， 所以 ， 所以 故选：B 2．（2021·河北石家庄市·高三一模）若 图象上存在两点 ， 关于原点对称，则点对 称为函数 的“友情点对”（点对 与 视为同一个“友情点对”）若 恰有两个“友情点对”，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先转化“友情点对”为把 时的函数图像沿着原点对称对称过去，和 时函数图像的交点，即 的图像和 的交点，所以只要 有两解即可，求导画图即可得解. 【详解】 根据题意，若要求“友情点对”，可把 时的函数图像关于原点对称， 研究对称过去的图像和 时的图像有两交点即可， 关于原点对