专题06利用导数研究函数的性质、极值与最值-2020-2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习（苏教版选修2-2）

2020—2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习 06 利用导数研究函数的性质、极值与最值 【例题精讲】 一、利用导数研究函数的性质 （一）函数、导数与图像 例1．函数的大致图象是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数； 当和时，函数，可知图象与轴有两个交点，排除； ， 令，可得； 函数递减，，函数递增，，递减． （二）构造函数解函数不等式 例2．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若(2)，则实数的取值范围为 ． 【答案】(2020，2022) 【解析】令，，则，，， 函数在上单调递减，(2)， ，，，即(2)， 故，解得：，故． 例3．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，0，则不等式的解集为 A． B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】令，则， 在时单调递增，又（1）（1）， 时，，时，， 当时，，，， 时，，，， 在上恒成立，又是奇函数，，在上恒成立， ①当时，，，即， ②当时，，，即， 由①②得不等式的解集是，，． 例4．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在，上有，则不等式的解集是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 令，， 函数为奇函数．，时，，即， 函数在，上是增函数， 故函数在上也是增函数，可得在上是增函数． ，等价于， 即，，解得：． 例5．若函数的定义域为，对于，，且为偶函数，(2)，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数，则， ，， ，函数单调递减， 为偶函数，可得函数关于对称， 又由（2），，， 不等式，可得化为，即，， 即不等式的解集为． （三）已知函数的单调性确定参数 例6．（多选）若函数在，上为单调递增函数，则的可能取值为 A．2 B．1 C．0 D． 【答案】AB 【解析】因为，所以， 因为在，上为单调递增函数，所以在，上恒成立， 当时，有在，上恒成立，不符合题意； 当时，二次函数开口向下，不可能满足在，上恒成立，不符合题意； 当时，若，则在，上恒成立； 若，则，△，满足在，上恒成立． 综上所述，可以取到1和2． 例7．设函数为常数），若函数在，上存在单调减区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】(2，) 【解析】函数，， 函数在在，上存在单调减区间，在，上有解， 即在，上有解，只需在，内，即可， ，，当且仅当时取得最小值2，即在，内，， ，即的取值范围为． 例8．已知函数在内不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】，，当时，在上单调递增，不符合题意，当时，， 在上不单调，在上有解， 设，其对称轴为，（1）（3）， ，解得或． （四）利用导数讨论函数单调性 例9．已知函数，其中为正实数．试讨论函数的单调性． 【解析】解：（1）， 当时，， 在时，，单调递增， 在，时，，单调递减， 当时，在，，上，，单调递减， 在，上，，单调递增， 当时，若，即时， 在上，，单调递增， 若，即时， 在，，上，，单调递增， 在，上，，单调递减， 若，即时， 在，，上，，单调递增， 在，上，，单调递减， 综上，当时，在上单调递增；在，上，单调递减， 当时，在，，上，单调递减；在，上，单调递增， 当时，在上，，单调递增， 当时，在，，上，单调递增；在，上，单调递减， 当时，在，，上，单调递增；在，上，单调递减． 例10．已知函数，．设，讨论的单调性． 【解析】解：因为，， ， ，△， ①当时，，在上单调递增， ②当时，令，， 当，，在上单调递增， 当，，，在，上单调递减， 当，，，在，上单调递增． 综上得：当时，在上单调递增， 当时，在，，上单调递增， 在，上单调递减． 二、利用导数研究函数的极值 （一）利用导数研究函数的极值 例1．已知函数，，．则下列叙述正确的有 A．函数有极大值 B．函数有极小值 C．函数有极大值 D．函数有极小值 【答案】C 【解析】，，，， 令，解得：，令，解得：， 故在，递增，在，递减，故极大值． 例2．设函数（其中为实数）．求证，若不是的极值点，则无极值点． 【解析】证明：当时，，所以（1）， 又，且，所以恒成立，从而函数在上单调递增， 所以当时，；当时，， 则函数在上单调递减；在上单调递增， 是函数的极小值点， 同理当时，也是函数的极小值点， 当时，由得，且在上单调递增， 所以当时，；当时，， 从而函数在，上单调递减；在，上单调递增， 若即，则当，时，， 当时，，则是函数的极值点； 同理若即，则也是函数的极值点； 若即，，则函数在上单调递增，此时不是函数的极值点； 综上可知，若不是函数的极值点，则，函数在上单调递增，从而函数无极值点． （二）已知函数的极值确定参数 例3．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是