2.3 数学归纳法-2020-2021学年高二数学（理）十分钟同步课堂专练（人教A版选修2-2）

课时同步练 2.3 数学归纳法 一、单选题 1．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，故第一步应验证的情况，即. 故选. 2．用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因此不等式左边为， 故选C. 3．利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应增乘的是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】在数学归纳法中，当时，成立 当时，左边 所以左边应增乘. 故选D 4．用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（ ） A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1 【答案】C 【解析】在用数学归纳法证明“n（n∈N*）”时 假设当时不等式成立，左边= 则当时，左边= 则由递推到时不等式左边增加了： 共 故选C 5．利用数学归纳法证明“ 且”的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，该不等式左边的变化是（ ） A．增加 B．增加 C．增加并减少 D．增加并减少 【答案】D 【解析】时，不等式为 时，不等式为，增加并减少. 故选D. 6．已知，用数学归纳法证明：对于任意的，，由的归纳假设证明，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， ， . 故选D. 7．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下： （1）当时，，不等式成立. （2）假设当时，不等式成立，当时，. 当时，不等式成立，则上述证法（ ） A．过程全部正确 B．验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【解析】在时，没有应用时的假设，即从到的推理不正确. 故选D. 8．用数学归纳法证明等式的过程中，第二步假设时等式成立，则当时应得到（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将代入等式， 可得， 即. 故选D. 9．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设时成立，即 当成立时， 增加的项数是 故选 10．用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（ ）能被9整除. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】假设时命题成立，即能被9整除， 当时， 能被9整除 要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除 故选 11．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，左边， 当时，左边 ， ∴从到，左边需要增乘的代数式为. 故选B. 12．设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总可推出 成立那么下列命题中正确的是（ ） A．若成立，则当时均有成立 B．若成立，则当时均有成立 C．若成立，则当时均有成立 D．若成立，则当时均有 【答案】C 【解析】根据题意：考虑对于正整数，，若成立，则成立，为真命题，即改写成若则的形式， A选项：应该是若成立，当时均有成立； B选项：应该是若成立，当时均有成立； C选项：若成立，即成立，则当时均有成立，正确；D选项：根据互为逆否命题的两个命题真假性一致，若成立，则当时均有. 故选C 二、填空题 13．用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______. 【答案】 【解析】因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1 所以，左边的式子为， 故填. 14．用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边=________. 【答案】. 【解析】用数学归纳法证明：时， 在验证时，把当代入，左端. 故填. 15．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是________． 【答案】假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1(k∈N*)时正确 【详解】因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题先假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1(k∈N*)时正确． 故填假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1(k∈N*)时正确 16．若，，则__________. 【答案】 【解析】因为 所以 所以 故填 17．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项数是___________ 【答案】 【解析】当时成立，即， 则成立时，有， 所以增加的项数是. 故填. 18．若定义为的各位数字之和（），如，则，则____________. 【