11.2 平面的基本事实与推论-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§11.2　平面的基本事实与推论 学业标准 学科素养 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法. 2.掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点) 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题.(重点、难点) 1.通过引导解决共线、共面问题，培养逻辑推理核心素养； 2.通过画或找立体图形中平面与平面的交线，培养直观想象核心素养； 3.利用判断点、线、面的位置关系判断命题的真假，培养数学建模核心素养. [教材梳理] ◇导学　平面的基本事实及推论 [问题1]　若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？ [提示]　在桌面上. [问题2]　为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？ [提示]　撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上. [问题3]　两张纸面相交有几条直线？ [提示]　一条. ◎结论形成 1.平面的基本事实 基本事实(公理) 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l. 2.平面基本事实的推论 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1　经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.(图①) 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面.(图②) 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面.(图③) [基础自测] 1.(多选题)如图所示，下列符号表示正确的是 [来源:Zxxk.Com] A.l∈α　　　　　　　　　 B.P∉l C.l⊂α D.P∈α 解析　观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的. 答案　BCD 2.下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是 A.因为A∈α，B∈α，所以AB∈α B.因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a[来源:学科网] C.因为A∈a，a⊂α，所以A∈α D.因为A∉a，a⊂α，所以A∉α 解析　对A，直线AB在平面α内，应为AB⊂α，故A错误； 对B，直线a在平面α内，应为a⊂α，故B错误； 对C，因为A∈a，a⊂α，所以A∈α，故C正确； 对D，A∉a，a⊂α，有可能A∈α，故D错误.故选C. 答案　C 3.下列说法正确的是________.(填序号) ①线段AB在平面α内，直线AB不一定在平面α内. ②经过空间三点有且只有一个平面. ③如果直线过平面内一点与平面外一点，则这条直线和这个平面只有一个公共点. ④平面α与平面β不可以相交于一个公共点. 解析　①因为线段AB在平面内，所以点A，B在平面内，由公理1可知直线AB在平面内，故该说法错误；②若三点共线，则经过这三点有无数个平面，所以该说法错误；③若有两个公共点，则该直线在这个平面内，即直线和平面有无数个公共点，显然不可能，所以该说法正确；④由公理3可知，该说法正确. 答案　③④ 4.在长方体ABCD­A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条. 解析　如图，由图可知，即与AB共面又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5条. 答案　5 题型一　图形、文字、符号语言的相互转化 [例1]　将下列符号语言转化成图形语言，并用文字语言加以叙述：α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β. [自主解答]　图形语言如图所示，文字语言是：点A在平面α与β的交线l上，且直线AB在平面α内，直线AC在平面β内，也可以叙述为：平面α内的直线AB与平面β内的直线AC相交于两平面的交线l上. [规律方法] 集合中“∈”的符号只能用于点与直线、点与平面的关系，“⊂”和“∩”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借助于集合符号，但在读法上仍用几何语言. [触类旁通] 1.已知点A，直线a，平面α，以下命题表达正确的个数是 ①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α； ③A∉a，a⊂α⇒A∉a；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α. A.0　　　　 B.1　　　　 C.2　　　　 D.3 解析　①错，如图： ②a∈α符合不对；③错，如图： ④A⊂α符号书写不对. 答案　A 题型二　点、线共面问题 [例2]　已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，