11.3.3 平面与平面平行(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

〉 /CD1 ４． ｂ是平面α外的一条直线，可以推出ｂ∥α的条件是 （　 ） Ａ． ｂ与α内的一条直线不相交 Ｂ． ｂ与α内的两条直线不相交 Ｃ． ｂ与α内的无数条直线不相交 Ｄ． ｂ与α内的任何一条直线都不相交 XYZ[%\]^ １．在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ为ＤＤ１的中 点，则下列直线中与平面ＡＣＥ平行的是 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ＢＡ１ 　 　 Ｂ． ＢＤ１ Ｃ． ＢＣ１ 　 　 Ｄ． ＢＢ１ ２．如图所示，Ａ是平面ＢＣＤ外一点，Ｅ，Ｆ，Ｇ分别 是ＢＤ，ＤＣ，ＣＡ的中点，设过这三点的平面为 α，则在图中的６条直线ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，ＢＣ，ＣＤ， ＤＢ中，与平面α平行的直线有 （　 ） Ａ． ０条 Ｂ． １条 Ｃ． ２条 Ｄ． ３条 ３．点Ｍ、Ｎ是正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的棱Ａ１Ａ 与Ａ１Ｂ１的中点，Ｐ是正方形ＡＢＣＤ的中心，则 ＭＮ与平面ＰＣＢ１的位置关系是 （　 ） Ａ．平行 Ｂ．相交 Ｃ． ＭＮ平面ＰＣＢ１ Ｄ．以上三种情形都有可能 ４．如图，在四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ中，Ｍ，Ｎ分别为ＡＣ， ＰＣ上的点，且ＭＮ∥平面ＰＡＤ，则 （　 ） Ａ． ＭＮ∥ＰＤ Ｂ． ＭＮ∥ＰＡ Ｃ． ＭＮ∥ＡＤ Ｄ．以上均有可能 ５．如图，在五面体ＦＥＡＢＣＤ中，四边形ＣＤＥＦ为 矩形，Ｍ，Ｎ分别是ＢＦ，ＢＣ的中点，则ＭＮ与平 面ＡＤＥ的位置关系是　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１９                                      ］ １１． ３． ３　 平面与平面平行 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．掌握空间两个平面的位置关系，并会判断． ２．掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并 能应用这两个定理证明一些空间位置关系的简单 命题． ３．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用． １．通过学习空间两平面的位置关系，培养直观想象 的数学核心素养． ２．借助两平面平行的判定与性质定理的学习，提升 逻辑推理、数学抽象的核心素养． $!( )*+,%-.+ 知识点１　 两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 　 　 　 　 ０个 两平面相交 　 　 　 　 　 无数个点（共线） ●/012 １．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）没有公共点的两平面平行． （　 　 ） （２）若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行． （　 　 ） （３）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行． （　 　 ） 知识点２　 平面与平面平行的判定定理与推论 判定定理 推论 文字 语言 如果一个平面内有　 　 　 　 　 　 分别平行于另一个平 面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有　 　 　 　 　 　 分别平行于 另一个平面内的　 　 　 　 　 　 ，则这两个平 面平行 符号 语言ｌα，ｍα，ｌ∥β，ｍ∥β，ｌ∩ｍ ＝ Ａα∥β ａ∥ｃ，ｂ∥ｄ，ａ∩ｂ ＝ Ａ，ａα，ｂα，ｃβ，ｄβ α∥β 图形 语言 ●/012 ２．已知在如图所示的长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ为ＡＡ１的中点，Ｆ为ＢＢ１的中 点，Ｇ为ＣＣ１的中点，则在该长方体的６个表面中，与平面ＥＦＧ平行的平面有 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个 Ｄ． ４个 知识点３　 平面与平面平行的性质定理与推论 性质定理 推论 文字 语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它 们的交线　 　 　 　 　 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段 　 　 　 　 　 符号 语言α∥β，α∩γ ＝ ａ，β∩γ ＝ ｂ 　 　 　 　 　 α∥β∥γ，ｍ∩α ＝ Ａ，ｍ∩β ＝ Ｂ，ｍ∩γ ＝ Ｃ，ｎ∩α ＝ Ｅ， ｎ∩β ＝ Ｆ，ｎ∩γ ＝ ＧＡＢＢＣ ＝ ＥＦ ＦＧ $!) 图形 语言 　 　 推论： \šŸ6e:.8Ç8<1RVRX-2£6üÕN™h 　 　 拓展： \8<8ǑbI~+, 7 （１） 5Ä6<8Ç-HO$ucdβVａβａdch （２） ë®\.8Ç8</-1b8Ç6ü-ªO¶Qh （３） ä¯8<|^0Vb•äb^.8<¡LM8<8Çh （４） K‰^šŸ6]\.8Ç8<*-^.¶«Vefé]`^.8<ò¶«h ●/012 ３．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是 （　 ） Ａ．两两相互平行 Ｂ．两两相交于一点 Ｃ．两两相交但不一定交于同一点 Ｄ．两两相互平行或交于同一点 3456%789 ●:;<%Gô›A›ïPg& 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知正方形ＡＢＣＤ与菱形ＡＢＥＦ所在平面相交，求证：平面ＢＣＥ∥ 平面ＡＤＦ． 　 　 ［分析］　 由四边形ＡＢＣＤ是正方形，证得ＢＣ∥平面ＡＤＦ，由四边形 ＡＢＥＦ为菱形，证得ＢＥ∥平面ＡＤＦ，即可利用面面平行的判定定理，证得平 面ＢＣＥ∥平面ＡＤＦ． ［归纳提升］ 归纳提升：平面与平面 平行的判定方法： È １ Égˆu\.8 <-b>»0 ． È ２ Ɏggxu^. 8</-\š¶«Ÿ6 45 8 Ç p ` ^ . 8< ． È ３ ɨ©" 6 6 8 Çu8< c /-\š ¶«Ÿ6¡8< β / -\š¶«Ÿ6458 ÇVY cd β． È ４ É«O8Ç8<-g h+uT cd β，β di ， Ycdi ． $!* 〉 /CD1 １．如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｐ，Ｑ分别是平面 ＡＡ１Ｄ１Ｄ、平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的中心，证明： （１）Ｄ１Ｑ∥平面Ｃ１ＤＢ； （２）平面Ｄ１ＰＱ∥平面Ｃ１ＤＢ． ●:;E%›Aš›A›ïP²ó0v ２．如图，在三棱锥Ｐ － ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ的中点，Ｍ是ＡＢ上一点，连接 ＭＣ，Ｎ是ＰＭ与ＤＥ的交点，连接ＮＦ，求证： ＮＦ∥ＣＭ． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ２．如图，已知在直三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ分别 是ＡＡ１，ＢＢ１，ＡＢ，Ｂ１Ｃ１的中点． （１）在图中画出过Ｍ，Ｎ，Ｑ三点的截面，并说出截面图形 的形状（不必说明画法与理由）； （２）求证：ＰＣ１∥平面ＭＮＱ． 归纳提升：应用平面与 平面平行性质定理的基 本步骤 $!+ ●:;>%›ï3wPtu¦v ３．如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分 别是ＢＣ，ＣＣ１，Ｃ１Ｄ１，ＡＡ１的中点，求证： （１）ＢＦ∥ＨＤ１； （２）ＥＧ∥平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ； （３）平面ＢＤＦ∥平面Ｂ１Ｄ１Ｈ． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ３．如图，三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１中，点Ｅ，Ｆ分别是棱ＣＣ１，ＢＢ１上的点，点Ｍ 是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ ＝ ２ＦＢ ＝ ２，当点Ｍ在何位置时，ＢＭ∥平面ＡＥＦ． ●QRST%0v&q–—˜õÎ öq÷ø˜ùúlm ４．在长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１、ＤＤ１ 的中点，求证：平面ＥＦＧＨ∥平面ＡＢＣＤ． 　 　 ［错解］　 ∵ Ｅ、Ｆ分别是ＡＡ１和ＢＢ１的中点，∴ ＥＦ∥ＡＢ， 　 　 又ＥＦ平面ＡＢＣＤ，ＡＢ平面ＡＢＣＤ， 　 　 ∴ ＥＦ∥平面ＡＢＣＤ， 　 　 同理可证，ＨＧ∥平面ＡＢＣＤ． 　 　 又ＥＦ平面ＥＧ，ＨＧ平面ＥＧ， 　 　 ∴平面ＥＦＧＨ∥平面ＡＢＣＤ． 　 　 ［错因分析］　 错解中，ＥＦ与ＨＧ是平面ＥＧ内的两条平行直线，不是 相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确． 　 　 ［正解］　 归纳提升： ¹jk96 6n6<n<<8ÇR SÍ-¶¬¨©}d% 66n6<n<<8Ç -UAۘ-Rj ． < <8ǎggxö•ò }5Ä<<8Ç-^ú HO$ ． $!! 　 　 ［误区警示］　 利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已 经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则容易导致错误． 〉 /CD1 ４．（２０２４·江西省上饶市期末）设ｍ，ｎ表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且ｍ，ｎα．则“α∥β”是 “ｍ∥β且ｎ∥β”的 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 XYZ[%\]^ １．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有（　 ） Ａ． ２对 Ｂ． ３对 Ｃ． ４对 Ｄ． ５对 ２．下列结论中，错误的是 （　 ） Ａ．平行于同一直线的两个平面平行 Ｂ．平行于同一平面的两个平面平行 Ｃ．平行于同一平面的两直线关系不确定 Ｄ．两平面平行，一平面内的直线必平行于另 一平面 ３．已知ａ，ｂ表示直线，α，β，γ表示平面，下列推 理正确的是 （　 　 ） Ａ．若α与β相交，ａα，ｂβ，则ａ与ｂ一定 相交 Ｂ．若ａα，ｂβ，ａ∥ｂ，则α∥β Ｃ． ａ∥β，ｂ∥β，ａα，ｂαα∥β Ｄ． α∥β，α∩γ ＝ ａ，β∩γ ＝ ｂａ∥ｂ ４．已知ａ和ｂ是异面直线，且ａ平面α，ｂ平 面β，ａ∥β，ｂ∥α，则平面α与β的位置关系 是　 　 　 　 ． ５．如图是长方体被一平面所截 得的几何体，四边形ＥＦＧＨ为 截面，则四边形ＥＦＧＨ的形状 为　 　 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［２０                       ］ ##"' 空间中的垂直关系 １１． ４． １　 直线与平面垂直 第１课时　 直线与平面垂直的判定 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．了解直线与直线所成的角，会求异面直线所成的角． ２．了解直线与平面垂直的概念，掌握直线与平面垂直的 判定定理． 在发现、推导和应用直线与平面垂直 的判定定理的过程中，发展学生的数 学抽象素养、逻辑推理素养和直观想 象素养． #$$ ∴ ＢＤ１∥平面ＡＣＥ． ２． Ｃ　 显然ＡＢ，ＡＣ，ＤＢ，ＤＣ四条直线均与平面α相交．在△ＢＣＤ 中，由已知得ＥＦ∥ＢＣ，又ＥＦ平面α，ＢＣ平面α，所以ＢＣ∥ 平面α．同理，ＡＤ∥平面α，所以在题图中的６条直线中，与平 面α平行的直线有２条． ３． Ａ 　 如图，∵ Ｍ、Ｎ分别为Ａ１Ａ和 Ａ１Ｂ１中点，∴ ＭＮ∥ＡＢ１， 又∵ Ｐ是正方形ＡＢＣＤ的中心， ∴ Ｐ、Ａ、Ｃ三点共线， ∴ ＡＢ１平面ＰＢ１Ｃ， ∵ ＭＮ平面ＰＢ１Ｃ， ∴ ＭＮ∥平面ＰＢ１Ｃ． ４． Ｂ　 在四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ中，Ｍ，Ｎ分 别为ＡＣ，ＰＣ上的点，且ＭＮ∥平面ＰＡＤ，ＭＮ平面ＰＡＣ，平面 ＰＡＣ∩平面ＰＡＤ ＝ ＰＡ，由直线与平面平行的性质定理可得ＭＮ ∥ＰＡ．故选Ｂ． ５．平行　 因为Ｍ，Ｎ分别是ＢＦ，ＢＣ的中点，所以ＭＮ∥ＣＦ． 又四边形ＣＤＥＦ为矩形， 所以ＣＦ∥ＤＥ，所以ＭＮ∥ＤＥ． 又ＭＮ平面ＡＤＥ，ＤＥ平面ＡＤＥ，所以ＭＮ∥平面ＡＤＥ． １１． ３． ３　 平面与平面平行 必备知识　 探新知 知识点１　 α∥β　 α∩β ＝ ｌ 对应练习 １．（１）√　 （２）× 　 （３）× ［提示］　 （１）由平面与平面平行的定义知正确． （２）若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可 能相交，故错误． （３）两平面可能相交． 知识点２　 两条相交直线　 两条相交直线　 两条直线　 对应练习 ２． Ｂ　 ∵在长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，Ｅ为ＡＡ１ 的中点，Ｆ为 ＢＢ１的中点，Ｇ为ＣＣ１的中点，∴ ＥＦ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ． 又ＥＦ平面ＡＢＣＤ，ＦＧ平面ＡＢＣＤ． ∴ ＥＦ∥平面ＡＢＣＤ，ＦＧ∥平面ＡＢＣＤ． 又ＥＦ∩ＦＧ ＝ Ｆ，ＥＦ平面ＥＦＧ，ＦＧ平面ＥＦＧ， ∴由平面与平面平行的判定定理得平面ＥＦＧ∥平面ＡＢＣＤ． 同理，平面ＥＦＧ∥平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ ． ∵点Ｅ既在平面ＥＦＧ上，又在平面ＡＤＤ１Ａ１上， ∴平面ＥＦＧ与平面ＡＤＤ１Ａ１不平行． 同理可得平面ＥＦＧ与平面ＣＤＤ１Ｃ１，平面ＢＣＣ１Ｂ１，平面 ＡＢＢ１Ａ１都不平行． 故在该长方体的６个表面中，与平面ＥＦＧ平行的平面有２个． 知识点３　 平行　 成比例　 ａ∥ｂ 对应练习 ３． Ａ　 根据面面平行的性质，知四条直线两两相互平行． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：［证明］　 因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＢＣ∥ＡＤ． 　 　 因为ＢＣ平面ＡＤＦ，ＡＤ平面ＡＤＦ，所以ＢＣ∥平面ＡＤＦ． 　 　 因为四边形ＡＢＥＦ是菱形，所以ＢＥ∥ＡＦ．因为ＢＥ平面 ＡＤＦ，ＡＦ平面ＡＤＦ，所以ＢＥ∥平面ＡＤＦ． 　 　 因为ＢＣ∥平面ＡＤＦ，ＢＥ∥平面ＡＤＦ，ＢＣ∩ＢＥ ＝ Ｂ，所以平面 ＢＣＥ∥平面ＡＤＦ． 对点训练 １．（１）由正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，可知Ｄ１Ｑ∥ＤＢ， ∵ Ｄ１Ｑ平面Ｃ１ＤＢ，ＤＢ平面Ｃ１ＤＢ， ∴ Ｄ１Ｑ∥平面Ｃ１ＤＢ． （２）由正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，可知Ｄ１Ｐ∥Ｃ１Ｂ， ∵ Ｄ１Ｐ平面Ｃ１ＤＢ，Ｃ１Ｂ平面Ｃ１ＤＢ， ∴ Ｄ１Ｐ∥平面Ｃ１ＤＢ，由（１）知，Ｄ１Ｑ∥平面Ｃ１ＤＢ， 又Ｄ１Ｑ∩Ｄ１Ｐ ＝ Ｄ１，∴平面Ｄ１ＰＱ∥平面Ｃ１ＤＢ． 　 　 例２：［证明］　 因为Ｄ，Ｅ分别是ＰＡ，ＰＢ的中点， 　 　 所以ＤＥ∥ＡＢ． 　 　 又ＤＥ平面ＡＢＣ，ＡＢ平面ＡＢＣ， 　 　 所以ＤＥ∥平面ＡＢＣ，同理ＤＦ∥平面ＡＢＣ， 　 　 且ＤＥ∩ＤＦ ＝ Ｄ，ＤＥ，ＤＦ平面ＤＥＦ， 　 　 所以平面ＤＥＦ∥平面ＡＢＣ． 　 　 又平面ＰＣＭ∩平面ＤＥＦ ＝ ＮＦ， 　 　 平面ＰＣＭ∩平面ＡＢＣ ＝ ＣＭ， 　 　 所以ＮＦ∥ＣＭ． 对点训练 ２．（１）取Ａ１Ｃ１ 中点Ｈ，连接ＭＮ，ＮＱ，ＱＨ，ＨＭ，则梯形ＭＮＱＨ是 过Ｍ，Ｎ，Ｑ三点的截面，如图所示． （２）连接ＢＣ１，ＡＣ１ ． ∵三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１是直三棱柱， ∴四边形ＡＢＢ１Ａ１是矩形． ∵ Ｍ，Ｎ分别是ＡＡ１，ＢＢ１的中点， ∴ ＭＮ∥ＡＢ． 在△Ｂ１Ｃ１Ｂ中，Ｑ，Ｎ分别是Ｂ１Ｃ１，ＢＢ１ 的中点，∴ ＮＱ∥ＢＣ１ ． 又∵ ＡＢ∩ＢＣ１ ＝ Ｂ，ＭＮ∩ＮＱ ＝ Ｎ， ∴平面ＭＮＱ∥平面ＡＢＣ１ ． 又∵ Ｐ是ＡＢ的中点， ∴ ＰＣ１平面ＡＢＣ１， ∴ ＰＣ１∥平面ＭＮＱ． 　 　 例３：如图． 　 　 （１）取Ｂ１Ｂ的中点Ｍ，连接ＨＭ，ＭＣ１，易证四边形ＨＭＣ１Ｄ１ 是平行四边形，∴ ＨＤ１∥ＭＣ１ ．又ＭＣ１∥ＢＦ，∴ ＢＦ∥ＨＤ１ ． 　 　 （２）取ＢＤ的中点Ｏ，连接ＯＥ，ＯＤ１，则ＯＥ瓚 １２ ＤＣ． 　 　 又Ｄ１Ｇ瓚 １２ ＤＣ，∴ ＯＥ瓚Ｄ１Ｇ． 　 　 ∴四边形ＯＥＧＤ１是平行四边形，∴ ＥＧ∥Ｄ１Ｏ． 　 　 又Ｄ１Ｏ平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ，ＥＧ平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ， 　 　 ∴ ＥＧ∥平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ． 　 　 （３）由（１）知ＢＦ∥ＨＤ１，由题意易证Ｂ１Ｄ１∥                                                                      ＢＤ． —２０５— 　 　 又Ｂ１Ｄ１，ＨＤ１平面Ｂ１Ｄ１Ｈ，ＢＦ，ＢＤ平面ＢＤＦ，且Ｂ１Ｄ１∩ ＨＤ１ ＝ Ｄ１，ＤＢ∩ＢＦ ＝ Ｂ，∴平面ＢＤＦ∥平面Ｂ１Ｄ１Ｈ． 对点训练 ３．如图，取ＥＣ的中点Ｐ，ＡＣ的中点Ｑ，连接ＰＱ，ＰＢ，ＢＱ，则ＰＱ∥ＡＥ． 因为ＥＣ ＝ ２ＦＢ ＝ ２，所以ＰＥ ＝ ＢＦ．所以四边形ＢＦＥＰ为平行四 边形，所以ＰＢ∥ＥＦ．又ＡＥ，ＥＦ平面ＡＥＦ，ＰＱ，ＰＢ平面 ＡＥＦ，所以ＰＱ∥平面ＡＥＦ，ＰＢ∥平面ＡＥＦ．又ＰＱ∩ＰＢ ＝ Ｐ， ＰＱ，ＰＢ平面ＰＢＱ，所以平面ＰＢＱ∥平面ＡＥＦ．又ＢＱ平面 ＰＢＱ，所以ＢＱ∥平面ＡＥＦ．故点Ｑ即为所求的点Ｍ，即点Ｍ为 ＡＣ的中点时，ＢＭ∥平面ＡＥＦ． 　 　 例４：∵ Ｅ、Ｆ分别是ＡＡ１和ＢＢ１的中点， ∴ ＥＦ∥ＡＢ，又ＥＦ平面ＡＢＣＤ，ＡＢ平面ＡＢＣＤ， ∴ ＥＦ∥平面ＡＢＣＤ．同理可证ＥＨ∥平面ＡＢＣＤ．又ＥＦ平 面ＥＧ，ＥＨ平面ＥＧ，ＥＦ∩ＥＨ ＝ Ｅ，∴平面ＥＦＧＨ∥平面ＡＢＣＤ． 对点训练 ４． Ａ　 当α∥β时，因为ｍ，ｎα所以ｍ∥β，ｎ∥β，所以“α∥β”是 “ｍ∥β，ｎ∥β”的充分条件． 当ｍ∥β且ｎ∥β时，因为ｍ，ｎα，若ｍ，ｎ是两条相交直线， 则α∥β，若ｍ，ｎ是两条平行直线，则α与β可能相交，即不能 推出α∥β，所以“α∥β”不是“ｍ∥β，ｎ∥β”的必要条件． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 底面为正六边形的六棱柱，互相平行的面最多． ２． Ａ　 如图正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＢＢ１∥平面ＡＤＤ１Ａ１， ＢＢ１∥平面ＤＣＣ１Ｄ１， 而平面ＡＤＤ１Ａ１∩平面ＤＣＣ１Ｄ１ ＝ ＤＤ１ ． ３． Ｄ　 Ａ错误，ａ与ｂ可能平行也可能是异面直线；由平面与平 面平行的判定定理知Ｂ、Ｃ错误；由平面与平面平行的性质定 理知，Ｄ正确． ４．平行　 在ｂ上任取一点Ｏ，则直线ａ与点Ｏ确定一个平面γ． 设γ∩β ＝ ｌ，则ｌβ． ∵ ａ∥β，∴ ａ∥ｌ，∴ ｌ∥α． 又∵ ｂ∥α， ∴根据面面平行的判定定理可得α∥β． ５．平行四边形　 因为平面ＡＢＦＥ∥平面ＣＤＨＧ， 又平面ＥＦＧＨ∩平面ＡＢＦＥ ＝ ＥＦ， 平面ＥＦＧＨ∩平面ＣＤＨＧ ＝ ＨＧ， 所以ＥＦ∥ＨＧ．同理ＥＨ∥ＦＧ， 所以四边形ＥＦＧＨ的形状是平行四边形． １１． ４　 空间中的垂直关系 １１． ４． １　 直线与平面垂直 第１课时　 直线与平面垂直的判定 必备知识　 探新知 知识点１　 ａ′与ｂ′　 ０°　 夹角　 ９０° 对应练习 １． Ｃ　 如图，取Ｂ１Ｃ１的中点Ｅ， 连接ＢＥ，ＤＥ，则ＤＥ∥Ａ１Ｃ１ ． 因为ＡＣ∥Ａ１Ｃ１，所以ＡＣ∥ＤＥ， 所以∠ＢＤＥ（或其补角）即为异面直线 ＢＤ与ＡＣ所成的角． 由已知可得ＢＤ ＝ ＤＥ ＝ ＢＥ 槡＝ ２， 所以∠ＢＤＥ ＝ ６０°， 所以异面直线ＢＤ与ＡＣ所成角的大小为６０°． 故选Ｃ． 知识点２　 任意一条直线　 对应练习 ２． Ａ　 因为直线ｌ⊥平面α，所以ｌ与α相交．又因为ｍα，所以ｌ 与ｍ相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知ｌ⊥ｍ．故ｌ 与ｍ不可能平行． 知识点３　 两条相交直线　 对应练习 ３．垂直　 因为ＰＡ ＝ ＰＣ，所以ＰＯ⊥ＡＣ，又ＰＢ ＝ ＰＤ， 所以ＰＯ⊥ＢＤ． ＡＣ∩ＢＤ ＝ Ｏ，ＡＣ，ＢＤ面ＡＢＣＤ，所以ＰＯ⊥平 面ＡＢＣＤ． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）∵ ＣＧ∥ＦＢ， 　 　 ∴ ∠ＥＢＦ或其补角是异面直线ＢＥ与ＣＧ所成的角． 　 　 在Ｒｔ△ＥＦＢ中，ＥＦ ＝ ＦＢ，∴ ∠ＥＢＦ ＝ ４５°， 　 　 ∴ ＢＥ与ＣＧ所成角的大小为４５°． 　 　 （２）连接ＦＨ， 　 　 ∵ ＦＢ∥ ＡＥ，ＦＢ ＝ ＡＥ，ＡＥ∥ ＨＤ，ＡＥ ＝ ＨＤ， 　 　 ∴ ＦＢ ＝ ＨＤ，ＦＢ∥ＨＤ， 　 　 ∴四边形ＦＢＤＨ是平行四边形，∴ ＢＤ∥ＦＨ， 　 　 ∴ ∠ＨＦＯ或其补角是ＦＯ与ＢＤ所成的角，连接ＨＡ，ＡＦ， 　 　 则△ＡＦＨ是等边三角形，又Ｏ是ＡＨ的中点， 　 　 ∴ ∠ＨＦＯ ＝ ３０°， 　 　 ∴ ＦＯ与ＢＤ所成角的大小为３０°． 对点训练 １． Ｂ　 如图，取ＡＣ的中点Ｅ，连接ＤＥ，ＢＥ．因为 Ｄ是ＯＡ的中点，所以ＯＣ∥ＤＥ，所以∠ＢＤＥ （或其补角）为异面直线ＢＤ与ＯＣ所成的角． 设正四面体Ｏ － ＡＢＣ的棱长为２，则ＤＥ ＝ １， ＢＤ ＝ ＢＥ 槡＝ ３，ｃｏｓ∠ＢＤＥ ＝ ３ ＋ １ － ３槡２ ３ ＝槡３６                                                                     ， —２０６—