山西省吕梁市2021届高三三模数学（理）试题

吕梁市2021届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 2. 若复数 满足 ， ，则 在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3. 北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4. 已知 ， ， ，若 ，则向量 ， 夹角的正切值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 5. 已知点 为直线 ： 上一点，点 为圆 ： 上一点，则 最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 6. 设 ， ，化简 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 7. 已知函数 ，若 的图象过点 ，相邻对称轴的距离为 ，则 的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 8. 的展开式中 的系数为（ ） A. 88 B. 104 C. D. 【答案】D 9. 函数 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 10. 已知如图，在棱长为2的正方体 中，过 且与 平行的平面交 于点 ，则 （ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 11. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线交 于 ， 两点， 的重心为点 ，则点 到直线 的距离的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 12. 已知函数 满足 ，且 时， ，若 时，方程 有三个不同的根，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为______. 【答案】 14. 已知双曲线 ： ， ，过点 的直线交 于 ， 两点， 为 的中点，且直线 与 的一条渐近线垂直，则 的离心率为______. 【答案】 15. 已知锐角 中， ， ， ，延长 到点 ，使 ，则 ______. 【答案】 16. 如图所示的三棱锥 ， 平面 ， ，若 ， ， ， ，当 取最大值时，点 到平面 的距离为______. 【答案】 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列， . （Ⅰ）求 与 ； （Ⅱ）设 ，数列 前 项和记为 ，求 . 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） . 18. 如图，四边形 为正方形， 平面 ， 为等腰三角形， ， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） 19. 核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出 份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为 元，记检测的总费用为 元. （1）当 时，求 的分布列和数学期望； （2）（ⅰ）比较 与 两种方案哪一个更好，说明理由； （ⅱ）试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时， 和 两种方案哪一个更好（只需给出结论不必证明）. 【答案】(1)分布列见解析； ；(2)(ⅰ) 的方案更好一些；(ⅱ) 的方案更好一些. 20. 已知椭圆 ： 上有一点 ，点 在 轴上方， ， 分别为 的左，右焦点，当△ 的面积取最大值 时， . （Ⅰ）求 标准方程； （Ⅱ）若直线 交 于 ， 两点，设 中点 ， 为坐标原点， ，作 ，求证： 为定值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析. 21. 已知函数 的导函数为 ， . （Ⅰ）求 的极值； （Ⅱ）判断函数 在区间 上