2021届江西省重点中学协作体高三下学期5月第二次联考数学（理）试卷及答案

扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 $ 1 江西省重点中学协作体第二次联考数学（理）参考答案 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 A D B B D A C C B C C D 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13.40 14. -19 15. 2 3 16. 1 2 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60分。 17.解：(1)由  cos2 =1+3cosA B C 化简得 22cos +3cos 2=0A A ，……… 2分 即   cos +2 2cos 1 =0A A ，所以 1cos = 2 A ， = 3 A  .……………6分 （2）由 13cos = 14 ABD 得 3 3sin = 14 ABD ，由 =BD BC知 =BDC C  ， 故 sin =ABC       5 3sin + =sin + =sin 2 + 14 A C A BDC A ABD   ，……………10分 由正弦定理得 = sin sin BC AC A ABC ，即 =7BC ，所以 =7BD .……………12分 18．解：（1）证明：取 BD的中点N ，连接NE，则NE // BC，在四棱锥 1A DBCE 中， NE // BC，连接MN，在 1DAB 中，MN // 1AB，所以平面MNE //平面 1A BC，所以 EM // 平面 1A BC．……………………4分 （2）由 1AD CE  知 3DE  ，所以 2 2 2AD DE AE  ，所以 AD DE ．当体积最 大时 1AD 平面 BCDE．……………6分 以D为原点，DB、DE、 1DA 所在直线为 x、y 、z轴建立空间直角坐标系．则 1 3 3( , ,0) 2 2 C ， (0, 3,0)E ， 1(0,0,1)A ， (2,0,0)B ． 2 设平面 1CEA 的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z  ，平面 1BEA 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z  则 1 1 1 1 0 0 n A E n AC           ， 2 1 2 1 0 0 n A E n A B           ，即 1 1 1 1 1 3 0 1 3 3 0 2 2 y z x y z          ， 2 2 2 2 3 0 2 0 y z x z       ， 取 1 ( 3,1, 3)n    ， 2 ( 3,2,2 3)n   ，……………………9分 所以 1 2 5 5 133cos , 1337 19 n n     ．……………………11分 所以二面角 1 C A E B  的余弦值为 5 133 133 ．……………………12分 19.解：（1）设“甲至少命中 2次”为事件 C，则 故甲至少命中 2次的概率为 11 27 ．……………4分 （2）由题意知，X＝0，2，3，5，Y＝0，2，3，5， 22 4( 0) ( ) 3 9 P X    ， 1 2 2( 2) ( 3) 3 3 9 P X P X      ， 21 1( 5) ( ) 3 9 P X    2 2( 0) (1 )(2 2 ) 2(1 ) 2 4 2P Y p p p p p         ， 2( 2) 2 (1 ) 2 2P Y p p p p      ， 2( 3) (1 )(2 1) 2 3 1P Y p p p p        ， 2( 5) (2 1) 2P Y p p p p     . ∴X的分布列为 X 0 2 3 5 P 4 9 2 9 2 9 1 9 ……………7分 Y的分布列为 X 0 2 3 5 P 22 4 2p p  22 2p p  22 3 1p p   22 p p 3 ∴ 4 2 2 1 5( ) 0 2 3 5 9 9 9 9 3 E X          ， ( ) 8 3E Y p