第4章 第1节 多项式的导数与极值-【高考零起点】2021新高考数学总复习word

第四章　导　数 第一节　多项式的导数与极值 课堂练习 1. (1)f′(x)＝4x3＋6x2－2x－1 (2)f′(x)＝15x2－4x 2. 3x－y－1＝0 3．增区间为和，减区间为 4. ∵y′＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a). (1)当a>1时，增区间为和，减区间为； (2)当a<1时，增区间为和，减区间为； (3)当a＝1时，在R上为增函数． 5. 极大值为103，极小值为－5. 令f′(x)＝3x2＋12x－15>0，得x2＋4x－5>0，解得x>1或x<－5， 所以f(x)的增区间为和，从而减区间为. 所以原函数的极小值为f(1)＝－5，极大值为f(－5)＝103. 课后练习 一、 1．B　【解】∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1. 故选B. 2．D　f(x)为奇函数所以f(－x)＝－f(x)即a＝1，所以f′(x)＝3x2＋1，f′(x)|x＝0＝1，所以切线方程为y＝x. 3．D　f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知：f′(－3)＝3×(－3)2＋2a·(－3)＋3＝0，∴a＝5. 4．D　令f′(x)＝3x2－12＝0⇒x1＝－2，x2＝2，于是易知：x2＝2为极小值点. ∴a＝2. 5．D　∵a＞0，b＞0，f′(x)＝12x2－2ax－2b，f′(1)＝0，∴a＋b＝6. 又a＋b≥2. ∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时，ab取最大值9. 6．C　由f′(x)＝3x2－3＞0得x＞1或x＜－1，所以函数增区间为和，减区间为，于是函数的极大值为f(－1)＝3，极小值为f(1)＝－1，又f(－3)＝－17，f(0)＝1，故函数最大值为3，最小值为－17，选C 二、 1．BCD　函数y＝x＋b，可得f′(x)＝－＝不成立，所以A不正确；f(x)＝x4，f′(x)＝4x3＝，可以成立，所以B正确； f(x)＝sin x，f′(x)＝cos x＝，可以成立，所以C正确； f(x)＝ex，f(x)＝ex＝可成立，所以D正确；故直线y＝x＋b能作为BCD函数图象的切线，故选BCD. 2．AD　∵y＝f(x)与y＝f(－x)图象关于y轴对称，∴－x0是f(－x)的一个极大值点，故选项A正确； ∵y＝－f(x)与y＝f(x)图象关于x轴对称，∴x0是－f(x)的一个极小值点，故选项B，C错误； ∵y＝－f(－x)与y＝f(x)图象关于原点对称，∴－x0是－f(－x)的一个极小值点，故选项D正确； 故选AD. 3．ABD　结合导数与函数单调性的关系可知，当－≤x＜0时，f′(x)＜0，则函数单调递减，当0≤x≤4时，f′(x)≥0，此时函数单调递增，故当x＝0时，函数取得极小值，没有极大值，故选ABD. 第二节　非多项式函数的导数 课堂练习 一、 1．A　y′＝ex，y′|x＝0＝1. 2．C　y′＝2cos x－sin x，y′|x＝π＝－2，y＋1＝－2(x－π)即2x＋y－2π＋1＝0. 3．D　f′(x)＝(x－2)·ex＞0⇒x＞2，于是单调递增区间为(2，＋∞). 4．D　两直线斜率存在时，两直线垂直的充要条件是：它们的斜率之积为－1，已知直线ax＋y＋1＝0的斜率为－a，故切线的斜率为. ∵y′＝＝－，于是y′|x＝3＝－＝－. ∴＝－⇒a＝－2. 5．BD　由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)＜0，故原函数为减函数，又由图可知，x由小到大，导函数的不断增加，也就是f(x)图象上切线的斜率不断增加，所以f(x)的图象如图所示： 二、 1．e　f′(x)＝ex，f′(x)|x＝1＝e. 2. y＝x＋1　y′＝2x－，y′|x＝1＝2－1＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1. 3. (e，e)　两直线斜率存在时，两直线平行的充要条件是：它们的斜率相等. 已知直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故切线的斜率为2. 设切点为P(x0，y0)，∵y′＝ln x＋1，于是y′|x＝x0＝ln x0＋1＝2⇒x0＝e. ∴y0＝x0ln x0＝e. 4．a＜－1　由y′＝ex＋a＝0得x＝ln (－a)，依题意ln (－a)＞0，解得a＜－1. 5. ln 2－1　设切点为P(x0，y0)，∵y′＝，x＞0，于是有y′|x＝x0＝＝，y0＝ln x0，y0＝x0＋b⇒x0＝2，y0＝ln 2，b＝－1＋ln 2，∴b＝ln 2－1. 课后练习 一、 1．B　令y′＝x－＝＝， ∵x＞0，令y′＜0⇒0＜x＜1，故单调递减区间为(0，1]. 2．D　f′(x)＝－＋＝，∵x＞0，∴0＜x＜2时f′(x)＜0，