第一章 章末整合提升-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

一、任意角三角函数的定义、诱导公式[来源:学科网] 1.任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应. 2.利用定义求三角函数值的两种方法 (1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值. (2)取角α的终边上任意一点P(a，b)(原点除外)，则对应的角α的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 3.诱导公式的一个重要作用是将不是锐角的三角函数问题转化为锐角三角函数问题.熟练掌握诱导公式，准确确定符号，才能准确无误的解决此类问题. [例1]　(1)已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2). ①若m＝2，求5sin α＋3tan α的值； ②若cos α≤0，且sin α>0，求实数m的取值范围.[来源:Z+xx+k.Com] (2)化简：. [解析]　(1)①若m＝2，则P(－3，4)， 所以x＝－3，y＝4，r＝5， 所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－， 故5sin α＋3tan α＝5×＋3×＝4－4＝0. ②由题意知，cos α＝≤0，sin α＝>0， 即x≤0，y>0， 所以所以－2<m≤3. (2)原式＝ ＝ ＝＝－ ＝－1. 1.已知cos＝a，则cos＋sin的值是________. 解析　因为cos＝cos ＝－cos＝－a. sin＝sin＝cos＝a， 所以cos＋sin＝0. 答案　0 二、三角函数的图象及变换 1.“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线. 2.函数y＝sin x的图象变换到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，法则是针对自变量x和因变量y，左加右减，上加下减.途径是相位变换φ(φ≠0)→周期交换ω(ω＞0)→振幅变换A(A＞0)和周期变换ω(ω＞0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A(A＞0).注意二者平移量的不同. [例2]　(1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象经过点B，且f(x)的相邻两个零点的距离为，为得到y＝f(x)的图象，可将y＝sin x图象上所有点(　　) A.先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B.先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C.先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D.先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 (2)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表. ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 ①请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式； ②将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心. [解析]　(1)由题意可知是函数f(x)的半个周期，则周期T＝＝2×＝π，ω＝2. 易知sin＝0，则－＋φ＝kπ，k∈Z， 又0＜φ＜，所以φ＝， 所以f(x)＝sin，由此可得变换过程为选项B. (2)①根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－. 数据补全如下表. ωx＋φ[来源:Zxxk.Com] 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函数解析式为f(x)＝5sin. ②由①知，f(x)＝5sin， 因此g(x)＝5sin ＝5sin. y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z， 令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z. 即y＝g(x)的图象的对称中心为，k∈Z. 其中离原点O最近的对称中心为. [答案]　(1)B　(2)略 2.如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的一段图象. (1)求此函数解析式； (2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？ 解析　(1)由图象知 A＝＝， k＝＝－1， T＝2×＝π， ∴ω＝＝2. ∴y＝sin(2x＋φ)－1. 当x＝时，2×＋φ＝， ∴φ＝. ∴所求函数解析式为y＝sin－1. (2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝