1.7 正切函数-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

§7　正切函数 学业标准 学科素养 1.理解正切函数的定义；熟记正切函数的诱导公式.(难点) 2.掌握正切函数的图象和性质并能解决有关问题.(重点) 1.通过正切函数的定义，诱导公式的学习，培养数学抽象等核心素养. 2.通过正切函数性质与图象的应用，提升直观想象、逻辑推理核心素养. [教材梳理] ◎导学1　正切函数的定义、诱导公式 [问题1]　我们学习了正、余弦函数，那么正切函数如何定义呢？ [提示]　任意实数x，比值唯一确定(cos x≠0)，根据函数的定义，是x的函数，称为正切函数. [问题2]　我们学习了正、余弦函数的诱导公式，利用正切函数的定义如何推导正切函数的诱导公式？ [提示]　如tan(－x)＝＝－tan x. 再如tan(kπ＋x)＝＝tan x.其他类似推出. ◎结论形成 1.正切函数的定义 根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan_x，其中定义域为{xx≠kπ＋，k∈Z}. 2.正切函数的诱导公式 tan(kπ＋α)＝tan α，k∈Z tan(－α)＝－tan α tan(π＋α)＝tan α tan(π－α)＝－tan α tan＝－ tan＝ 其中角α可以为使等式两边都有意义的任意角. ◎导学2　正切函数的图象与性质 [问题1]　诱导公式tan(kπ＋α)＝tan α，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ [提示]　正切函数是最小正周期为π的周期函数. [问题2]　诱导公式tan(－α)＝－tan α，说明了正切函数的什么性质？[来源:学.科.网Z.X.X.K] [提示]　正切函数是奇函数. [问题3]　类比画正弦函数图象的方法，可以画出正切函数的图象(如图). [来源:Z&xx&k.Com] 根据图象，试讨论正切函数的主要性质. [提示]　值域为(－∞，＋∞)；周期为π；取一个周期，正切函数在上是递增的， 故正切函数的增区间为，k∈Z. ◎结论形成 1.正切曲线 正切函数的图象称为正切曲线. 2.正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 值域 R 周期 T＝π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间，k∈Z上都是增函数. 对称中心 正切曲线是中心对称图形，其对称中心为，k∈Z [基础自测] 1.函数y＝2tan 的最小正周期是(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.π 解析　T＝＝. 答案　B 2.函数y＝tan x＋是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 解析　函数的定义域是， 且tan (－x)＋＝－tan x－ ＝－， 所以函数y＝tan x＋是奇函数. 答案　A 3.函数f(x)＝tan 的单调增区间是(　　) A.，k∈Z B.(kπ，kπ＋π)，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析　由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z， 得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z， 故f(x)的单调增区间是，k∈Z. 答案　C 4.比较大小：tan ________tan . 解析　因为tan ＞0，tan ＜0，所以tan ＞tan . 答案　＞ 题型一　正切函数的定义域、值域问题 [例1]　(1)函数y＝的定义域为________. (2)函数y＝tan ，x∈的值域是________. [自主解答]　(1)要使函数y＝有意义，必须且只需 所以函数的定义域为 . (2)∵－＜x＜，∴－＜2x－＜， 即tan ＜1， 故函数的值域为(－∞，1). [答案]　(1) (2)(－∞，1) [素养聚焦] 在求解正切函数的定义域和值域的过程中，体现的数学核心素养为数学抽象、数学运算. [规律方法] (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. (2)求值域要用换元的思想，把tan x看作可取任意实数的自变量，一是要注意x的范围，再确定tan x的范围. [触类旁通] 1.函数y＝tan (sin x)的定义域为__________，值域为__________. 解析　∵－＜－1≤sin x≤1＜， ∴函数的定义域为R，值域为[－tan 1，tan 1] 答案　R　[－tan 1，tan 1] 题型二　正切函数的单调性 [例2]　(1)求函数y＝tan的周期和单调区间； (2)比较tan与tan的大小. [自主解答]　(1)函数的周期T＝＝2π， 由kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z得， 2kπ－＜x＜2kπ＋π，k∈Z， 所以函数y＝tan的单调递增区间是，k∈Z. (2)由于tan＝tan ＝tan＝－tan， tan＝－tan＝－tan， 又0＜＜＜， 而y＝tan x在上单调递增， 所以tan＜tan，－t