1.6.3 探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

6.3　探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 学业标准 学科素养 1.了解A对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响. 2.掌握探究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的方法和步骤.(难点) 3.会用函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质解决有关问题.(重点) 1.在图象间的变换过程中，提升直观想象等核心素养. 2.通过y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用提升数学运算等核心素养. [教材梳理] ◎导学1　探究A的取值对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 [问题]　在同一平面直角坐标系中，用“五点法”作出函数y＝4sin x与y＝sin x的图象，从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析，y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sin(ωx＋φ)的图象之间有什么关系？ [提示]　y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以由y＝sin(ωx＋φ)的图象所有点的纵坐标伸缩(横坐标不变)得到. ◎结论形成 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象是将y＝sin(ωx＋φ)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的.A决定了函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ) y＝mf(x)＝mAsin(ωx＋φ). ◎导学2　探究函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 [问题]　探究函数y＝sin的周期、单调递增区间和对称轴. [提示]　周期T＝2π. 由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 即函数的递增区间为，k∈Z.由x＋＝kπ＋， 得x＝kπ＋，k∈Z为函数图象的对称轴. ◎结论形成 1.探究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)性质的一般步骤 第1步，确定周期T＝； 第2步，在y＝sin x五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)的基础上确定该函数的五个关键点； 第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象，再利用其周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象； 第4步，借助图象讨论性质. 说明：这也是讨论周期函数的一般方法和步骤. 2.函数y＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 奇偶性 φ＝kπ，k∈Z时是奇函数；φ＝＋kπ，k∈Z时是偶函数. 单调性 单调增区间可由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z得到，单调减区间可由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z得到. 对称性 对称轴方程为x＝＋－，k∈Z. 对称中心为，k∈Z. [基础自测] 1.函数y＝sin 的周期、振幅、初相分别是(　　) A.3π，，　　　　　　　　 B.6π，， C.3π，3，－ D.6π，3， 解析　周期T＝＝6π 振幅，初相为，故选B. 答案　B 2.函数f(x)＝sin 的图象的一条对称轴是(　　) A.x＝－ B.x＝ C.x＝－ D.x＝ 解析　代入验证：当x＝－时， y＝sin ＝－为最小值，故选C. 答案　C 3.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　) A.y＝sin |2x|　　　　　　 B.y＝|sin x| C.y＝sin D.y＝cos 解析　y＝cos ＝－sin 2x符合题意.故选D. 答案　D 4.若f(x)＝sin是奇函数，则φ＝________. 解析　由题意可知＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.又|φ|＜，故当k＝1时，得φ＝. 答案　 题型一　由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 [例1]　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式. [自主解答]　解法一　逐一定参法 由图象知振幅A＝3， 又T＝－＝π，∴ω＝＝2. 由点可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z. 又|φ|<，得φ＝，∴y＝3sin. 解法二　待定系数法 由图象知A＝3，又图象过点和， 根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)， 有解得 ∴y＝3sin. 解法三　图象变换法 由T＝π，点，A＝3可知， 图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的， ∴y＝3sin，即y＝3sin. [方法技巧] 给出y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定A，ω，φ的方法 (1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择