1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 学业标准 学科素养 1.了解余弦曲线的画法，理解正弦曲线与余弦曲线的关系.(难点) 2.掌握余弦函数的性质，并能应用余弦函数的性质与图象解决相关问题.(难点) 1.通过学习余弦曲线，培养直观想象等核心素养. 2.通过余弦函数性质与图象的应用提升数学运算、逻辑推理核心素养. [教材梳理] ◎导学　余弦函数的图象与性质再认识 [问题1]　“五点法”作出y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是什么？ [提示]　两个最高点(0，1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)，两个零点，. [问题2]　函数y＝cos x与y＝sin x图象间的关系？ [提示]　∵cos x＝sin ∴把y＝sin x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos x的图象. [问题3]　类比正弦函数性质再认识的研究方式，利用y＝cos x的图象(如图)，进一步探究其主要性质. (1)讨论y＝cos x在[－π，π]上的单调性？ [提示]　在[－π，0]上递增，在[0，π]上递减. (2)当x∈R时，求y＝cos x取最大值时对应x的值？ [提示]　x＝2kπ，k∈Z. (3)研究y＝cos x的奇偶性？ [提示]　∵cos(－x)＝cos x，∴余弦函数是偶函数，其图象关于y轴对称. (4)余弦函数的图象有对称轴吗？有对称中心吗？ [提示]　对称轴为x＝kπ，k∈Z，对称中心为，k∈Z. ◎结论形成 y＝cos x的图象与性质 图象 定义域 R 值域 [－1，1] 周期性 最小正周期为2π[来源:学科网] 单调性 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减 最值 当x＝2kπ，k∈Z时，y最大＝1 当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y最小＝－1 对称轴 x＝kπ，k∈Z 对称中心 ，k∈Z [基础自测] 1.函数y＝sin(x∈R)是(　　) A.奇函数　　　　　　　 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.无法确定 解析　y＝sin＝cos x是偶函数. 答案　B 2.用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(　　) A.(π，－1) B.(0，2) C. D. 解析　由五点作图法知五个关键点分别为(0，2)，，(π，4)，，(2π，2)，故A错误. 答案　A 3.函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是(　　) A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4 答案　B 4.不等式sin＜0，x∈[0，2π]的解集为________. 解析　y＝sin＝cos x作出在x∈[0，2π]的简图. 满足cos x＜0的x的范围是，即不等式的解集为. 答案　 题型一　利用“五点法”作简图 [例1]　用“五点法”作出函数y＝cos在一个周期内的图象. [自主解答]　列表： x x－ 0 π 2π y＝cos 1 0 －1 0 1 描点、连线得函数y＝cos在一个周期内的图象，如图所示. [方法技巧] (1)在精确度要求不高的情况下，“五点法”作正、余弦函数的图象是一种极为常见并且有效的方法. (2)令x－＝0，，π，，2π，进而得到五个点的坐标是解决本题的关键. [触类旁通] 1.用“五点法”画出函数的简图：[来源:Z.xx.k.Com] y＝－cos x，x∈[0，2π]. 解析　按五个关键点列表： x 0 π π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －cos x －1 0 1 0 －1 利用余弦函数的性质描点画图.(如图所示) 题型二　求三角函数的定义域 [例2]　求下列函数的定义域： (1)y＝＋； (2)y＝＋lg(2sin x＋). [自主解答]　(1)由题意，x应满足的条件为 ，即. 由数轴(如图)得原函数的定义域为 ∪∪. (2)由题意，x应满足的条件为，即 由单位圆求交集如图所示. 于是原函数的定义域为. [方法技巧] 含三角函数的函数的定义域的求法 图象法：先画出函数图象，找出一个周期内符合条件的并用不等式表示出来，再利用周期性表示出符合条件的所有角. [触类旁通] 2.求函数y＝＋log的定义域. 解析　根据题意需有条件 解①得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z③ 解②得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z④ 将③④求交集得2kπ＋≤x＜2kπ＋，k∈Z， 所以其定义域为，k∈Z. 题型三　正、余弦函数性质的综合应用 角度1　三角函数奇偶性、周期性的应用 [例3－1]　已知函数f(x)是以为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)＝cos x，求f的值. [自主