1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 学业标准 学科素养 1.了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”画出简单的正弦曲线.(难点) 2.掌握正弦函数的性质，并能利用正弦函数的图象和性质解决相关问题.(重点) 1.通过正弦曲线的学习，培养数学抽象等核心素养. 2.通过正弦函数图象与性质的应用，提升直观想象等核心素养. [教材梳理] ◎导学1　正弦函数的图象与性质再认识 [问题]　在前面我们学习了y＝sin x的基本性质，知道正弦函数的周期为2π，为了研究方便，我们取长度为一个周期的区间x∈上的正弦曲线，进一步探究y＝sin x的性质. (1)讨论y＝sin x在上的单调性. [提示]　在上递增，在上递减. (2)当x∈R时，求y＝sin x取最小值时x的取值. [提示]　当y最小＝－1时，x＝2kπ－，k∈Z. (3)研究正弦函数的奇偶性. [提示]　∵sin(－x)＝－sin x，∴正弦函数是奇函数，其图象关于原点对称. (4)正弦函数图象有对称轴吗？有对称中心吗？ [提示]　对称轴为x＝kπ＋，k∈Z，对称中心为(kπ，0)，k∈Z. ◎结论形成 正弦函数的图象(正弦曲线)与性质 图象 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1. 周期性 周期函数，T＝2π 单调性 在上是递增的； 在上是递减. 以上k∈Z 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称. 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z. 对称 中心 (kπ，0)，k∈Z. ◎导学2　五点(画图)法 [问题]　画y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是什么？ [提示]　三个零点(0，0)，(π，0)，(2π，0)，一个最高点，一个最低点. ◎结论形成 画出正弦函数图象，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图.这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”. [基础自测] 1.函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　) 解析　用特殊点来验证.x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A，C；又x＝－时，y＝－sin＝1，排除B. 答案　D 2.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　) A.重合　　　　　　　　　 B.形状相同，位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同 解析　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同. 答案　B 3.正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象的一条对称轴是(　　) A.y轴 B.x＝ C.直线x＝π D.x轴 答案　B 4.在下列横线上填上“＞”或“＜”. (1)sin 250°________sin 260°； (2)sin________sin. 答案　(1)＞　(2)＞ 题型一　利用“五点法”作函数的图象 [例1]　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图. [自主解答]　按五个关键点列表 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示. [素养聚焦] 在“五点法”作图的过程中，体现了直观想象的核心素养. [规律方法] 用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)在[0，2π]上的简图的步骤： (1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1[来源:Z#xx#k.Com] 0 －1 0 Asin x＋b b A＋b b －A＋b b (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，b)，，(π，b)，，(2π，b). (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来. [触类旁通] 1.画出函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的简图. 解析　(1)按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x 1 2 1 0 1 (2)描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图). 题型二　正弦函数单调性的应用 [例2]　比较下列各组数的大小： (1)sin 和sin ； (2)sin 和sin ； (3)sin 和sin ； (4)sin 194°和cos 160°. [自主解答]　(1)sin ＝sin ＝sin . 因为0＜＜＜，且y＝sin x在内单调递增，所以sin ＜sin ，即sin ＜sin . (2)因为－＜－＜－＜