1.4.3-1.4.4 诱导公式与旋转-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

4.3　诱导公式与对称 4.4　诱导公式与旋转 学业标准 学科素养 1.了解正(余)弦函数诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程.(难点) 3.灵活运用诱导公式进行化简、求值和证明.(重点) 1.通过诱导公式的推导，培养数学抽象、逻辑推理等核心素养. 2.通过诱导公式的应用，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] ◎导学1　诱导公式与对称 [问题1]　如图.在平面直角坐标系中，设角α，－α，π＋α，π－α的终边与单位圆分别相交于点P，P1′，P2′，P3′，观察并思考. (1)P与P1′关于x轴有怎样的位置关系？ (2)P与P2′关于原点有怎样的位置关系？ (3)P与P3′关于y轴有怎样的位置关系？ [提示]　(1)关于x轴对称. (2)关于原点对称. (3)关于y轴对称. [问题2]　根据任意角正(余)弦函数的定义，并结合问题1的结论思考下面问题： (1)sin(－α)与sin α的值有何关系？cos(－α)与cos α的呢？ (2)sin(π＋α)与sin α的值有何关系？cos(π＋α)与cos α的呢？ (3)sin(π－α)与sin α的值有何关系？cos(π－α)与cos α的呢？ [提示]　借助单位圆，依据三角函数的定义和对称关系得sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. ◎导学2　诱导公式与旋转 [问题1]　设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P′，即α＋的终边与单位圆交于点P′. (1)怎样用点P坐标表示点P′的坐标？ (2)sin与cos α的值有何关系？ cos与sin α的呢？ [提示]　(1)由平面几何的知识知P′的坐标为(－v，u). (2)依据三角函数的定义得sin＝cos α. cos＝－sin α. [问题2]　利用问题1中(2)的结论和－α与α的正(余)弦关系，探究α－与α三角函数值的关系？ [提示]　sin＝－sin ＝－sin＝－cos(－α)＝－cos α， 同理得cos＝sin α. ◎结论形成 1.正(余)弦函数的诱导公式 对任意角α，下列关系式均成立(其中k∈Z). sin(α＋2kπ)＝sin α sin(－α)＝－sin α[来源:Zxxk.Com] sin(α＋π)＝sin(π＋α)＝－sin α sin(α－π)＝－sin α sin(π－α)＝sin α sin＝sin＝cos α sin＝cos α cos(α＋2kπ)＝cos α cos(－α)＝cos α cos(α＋π)＝cos(π＋α)＝－cos α cos(α－π)＝－cos α cos(π－α)＝－cos α cos＝cos＝－sin α cos＝sin α 2.诱导公式的语言概括 除了关于－α的诱导公式sin(－α)＝－sin α和cos(－α)＝cos α，对于其他诱导公式中的角，都可以看作α＋，其中n＝1，2，3，4k，k∈Z. 当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或4k，k∈Z时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号通常把α看成锐角时原三角函数的符号. [基础自测] 1.sin 的值是(　　) A.　　　　　　　　　 B.－ C. D.－ 解析　sin ＝－sin ＝－sin ＝－sin ＝sin ＝. 答案　A 2.点A(sin 2 020°，cos 2 020°)在直角坐标平面上位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　∵2 020°＝360°×5＋220°， ∴sin 2 020°＝sin 220°＝－sin 40°＜0， cos 2 020°＝cos 220°＝－cos 40°＜0. 故选C. 答案　C 3.sin 95°＋cos 175°化简为(　　) A.sin 5°　 　 B.cos 5°　 　 C.0　 　 D.2sin 5° 解析　原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案　C 4.已知P(2，3)是α终边上一点，则sin(π＋α)＝____________________________. 解析　x＝2，y＝3，r＝＝， 则sin α＝＝. ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－. 答案　－ [来源:Z,xx,k.Com] 题型一　利用诱导公式求值 [例1]　(1)求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)的值； (2)已知cos ＝，求sin 的值. [自主解答]　(1)由题意知： 原式＝－sin (3×36