1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学业标准 学科素养 1.理解并掌握正弦函数、余弦函数的基本性质.(定义域、最大(小)值、值域、周期性、单调性)(重点) 2.能用正余弦函数的基本性质解决相关问题.(难点) 通过正(余)弦函数基本性质的学习，提升直观想象、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] ◎导学　单位圆与正(余)弦函数的基本性质 [问题]　借助单位圆和正(余)弦函数的定义，如图，你能探究余弦函数u＝cos α的基本性质吗？ (1)研究u＝cos α的值域. [提示]　由单位圆知－1≤u≤1，即值域为[－1，1]. (2)研究u＝cos α的周期性. [提示]　∵对任意的k∈Z，α＋2kπ与α终边相同， ∴cos(α＋2kπ)＝cos α，∴2kπ(k∈Z且k≠0)为余弦函数的周期. (3)研究u＝cos α的单调性. [提示]　根据余弦函数的定义，在单位圆中，当角α由－π增加到0时，cos α的值由－1增加到1；当α由0增加到π时，cos α的值由1减小到－1，因此u＝cos α在[－π，0]上递增，在[0，π]上递减，由余弦函数的周期性对任意k∈Z，余弦函数在[2kπ－π，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ＋π]上递减. (4)研究u＝cos α的符号. [提示]　当角α的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴时，cos α＞0. 当角α的终边在第二或第三象限或x轴非正半轴时，cos α＜0. 当角α的终边在y轴上时，cos α＝0. ◎结论形成 1.正(余)弦函数的基本性质 v＝sin α u＝cos α 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 最值 当α＝2kπ－，k∈Z时，v最小＝－1； 当α＝2kπ＋，k∈Z时，v最大＝1. 当α＝2kπ，k∈Z时，u最大＝1； 当α＝2kπ＋π，k∈Z时，u最小＝－1. 周期性[来源:学科网ZXXK] 周期函数，周期为2π 周期函数，周期为2π 单调性 在，k∈Z上递增； 在，k∈Z上递减. 在，k∈Z 上递增； 在，k∈Z 上递减. 2.终边相同角的正(余)弦值 终边相同的角的正弦函数值相等，即对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝sin_α，α∈R； 终边相同的角的余弦函数值相等，即对任意k∈Z，cos(α＋2kπ)＝cos_α，α∈R. [基础自测] 1.sin 750°的值为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.－ 解析　sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝.故选C. 答案　C 2.函数y＝的定义域为________. 解析　由sin α≠0，即α≠kπ，k∈Z， 故定义域为{α|α≠kπ，k∈Z}. 答案　{α|α≠kπ，k∈Z} 3.函数y＝cos α的零点为________.[来源:学科网] 解析　由cos α＝0得α＝kπ＋，k∈Z. 答案　α＝kπ＋，k∈Z 4.函数y＝cos α在上的最大值为________，最小值为________. 解析　如图. ymax＝1. ymin＝－. 答案　1　－ 题型一　正(余)弦函数周期性的应用 [例1]　求值： (1)sin(－1 320°) cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°＋cos 495°. (2)cos＋sin. [自主解答]　(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(2×360°＋30°)＋cos(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋cos 135°＝×＋×－＝1－. (2)原式＝cos＋sin＝cos＋sin＝＋. [方法技巧] 利用终边相同角的正(余)弦函数值相等求值的步骤 (1)定形：把已知的任意角写成2kπ＋α，α∈(0，2π)，k∈Z或k·360°＋α，k∈Z，0°＜α＜360°的形式. (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.[来源:Z§xx§k.Com] (3)求值：若角为特殊角，直接求出该角的三角函数值. [触类旁通] 1.求值sin＋cos·sin 16π. 解析　原式＝sin＋cos·sin(16π＋0)＝sin＋cossin 0＝. 题型二　正(余)弦函数的单调性 角度1　求正(余)弦函数的单调区间 [例2－1]　求下列函数的单调区间.[来源:学#科#网] (1)v＝sin α，α∈[－π，π]； (2)u＝cos α，α∈[0，4π]. [自主解答]　(1)由正弦函数的递增区间，k∈Z， 得 当k＝0时，⊂[－π，π]. 由正弦函数的递减区间，k∈Z得 当k＝0时，，又α∈[－π，π]，即； 当k＝－1时，， 又α