1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 学业标准 学科素养 1.借助单位圆理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义.(难点) 2.已知角α终边上一点，会求sin α，cos α的值.(重点) 1.通过任意角的正(余)弦函数定义的学习，培养数学抽象等核心素养. 2.通过正(余)弦函数定义的应用，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] ◎导学　单位圆与任意角的正(余)弦函数的定义 [问题]　如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(u，v)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ [提示]　当α是锐角时，sin α＝v，cos α＝u.这一结论能推广到α是任意角的情形. ◎结论形成 1.任意角的正(余)弦函数的定义(单位圆法) 如图给定任意角α，作单位圆；角α的终边与单位圆的交点为P(u，v). 把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，记作v＝sin α； 把点P的横坐标u定义为角α的余弦值，记作u＝cos α. 如果角α的大小用弧度表示，那么，正弦v＝sin α、余弦u＝cos α分别是以角α的大小为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数，其定义域为全体实数，其值域为实数的子集合.这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了. 2.正(余)弦函数的定义(坐标法) 已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y). 则sin α＝，cos α＝，其中r＝. 3.单位圆与正(余)弦函数值的符号 根据正(余)弦函数的定义，设角α的终边与单位圆的交点是P(u，v). (1)当点P在第一、二象限或y轴正半轴时，sin α＞0；当点P在x轴上时，sin α＝0；当点P在第三、四象限或y轴负半轴时，sin α＜0. (2)当点P在第一、四象限或x轴的正半轴时，cos α＞0；当点P在y轴上时，cos α＝0；当点P在第二、三象限或x轴的负半轴时，cos α＜0. [基础自测] 1.已知角θ的终边与单位圆的交点是，则cos θ的值为(　　) A.　　 B.－　　 C.－　　 D. 答案　B 2.已知角α的终边经过点(－4，3)，则sin α的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 解析　sin α＝＝. 答案　C 3.锐角α的终边交单位圆于点P，则sin α＝________. 解析　＋m2＝1，又m＞0，∴m＝，∴sin α＝. 答案　 4.已知α＝2，则点P(sin α，cos α)在第________象限. 解析　∵＜2＜π，∴2是第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0，故P点在第四象限. 答案　四 题型一　单位圆法求三角函数值 [例1]　(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝(　　) A.－　　 B.－　　 C.　　 D. (2)若角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α＋cos α的值为________. [自主解答]　(1)由任意角正(余)弦函数的定义得 sin α＝，cos β＝－， ∴sin αcos β＝×＝－.故选B. (2)∵x2＋＝1，∴x＝±. 当x＝时，sin α＋cos α＝＋＝； 当x＝－时，sin α＋cos α＝－＝. [答案]　(1)B　(2) [方法技巧] 单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值. [触类旁通] 1.角α终边与单位圆相交于点M，则cos2α＋sin2α的值为________. 解析　cos2α＝，sin2α＝，∴cos2α＋sin2α＝1. 答案　1 题型二　坐标法求三角函数值[来源:学科网] 角度1　已知角α终边上一点坐标求三角函数值 [例2－1]　已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. [自主解答]　由题意知r＝|OP|＝， 由三角函数定义得cos θ＝＝. 又∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 当x＝－1时，P(－1，3)，[来源:Z#xx#k.Com] 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3. [规律方法] (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值. 在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 角度2　已