1.3 弧度制-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

§3　弧度制 学业标准 学科素养 1.理解1弧度角的定义，了解弧度制的概念.(难点) 2.能进行角度与弧度之间的互化.熟悉特殊角的弧度数.(重点) 3.掌握弧度制下弧长与面积公式，能应用公式解决问题.(重点) 1.通过弧度制概念的学习，培养数学抽象等核心素养. 2.通过弧度制与角度制的互化，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] ◎导学1　弧度概念 [问题1]　在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ [提示]　将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角. [问题2]　如图，三圆为同心圆，，，的长都等于相应圆的半径，它们所对应的圆心角与半径有没有关系？ [提示]　没有关系. ◎结论形成 1.弧度制的定义 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制. 2.任意角的弧度数与实数的对应关系 一般地，弧度与实数一一对应.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. ◎导学2　弧度与角度的换算 [问题]　在单位圆中，圆周角用角度制度量是多少度？用弧度制度量是多少弧度？你能进行角的角度数与弧度数的换算吗？ [提示]　360°；2π；即360°＝2π⇔180°＝π， 即1°＝rad，1 rad＝. ◎结论形成 1.弧度与角度的换算 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π ◎导学3　扇形的弧长和面积公式 [问题]　在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式？你能推导吗？ [提示]　弧长公式：由公式|α|＝及0＜α＜2π可得l＝α·r；扇形面积公式：S＝lr.推导如下： 设扇形的圆心角为α rad， 则扇形的面积为S＝·πr2＝αr2. 又因为l＝αr，所以S＝lr. ◎结论形成 设扇形的半径为r，弧度为l，α为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝|α|r 扇形的面积 S＝ S＝lr＝|α|r2 [基础自测] 1.下列命题中，假命题是(　　) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的[来源:学科网ZXXK] C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 答案　D 2.1 920°的角化为弧度数为(　　) A.　　　 B.　　　 C.π　　 D.π 解析　设1 920°的弧度数为α， 则＝，∴α＝，故选D. 答案　D 3.下列角中，终边在y轴正半轴上的角是(　　) A. B.－ C.π D.－π 答案　D 4.在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　) A.π cm B.π cm C.π cm D.π cm 解析　根据弧长公式，得l＝×8＝(cm). 答案　A 题型一　弧度与角度的换算 [例1]　把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－. [自主解答]　(1)72°＝72×＝. (2)－300°＝－300×＝－. (3)2＝2×＝. (4)－＝－×＝－40°.[来源:学科网ZXXK] [素养聚焦] 利用弧度制与角度制引起的计算，把数学运算等核心素养体现在解题过程中. [方法技巧] 角度与弧度互化问题的注意点 (1)角度与弧度的互化关系为π rad＝180°，则度数×＝弧度数，弧度数×＝度数. (2)将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”表示，再利用 1°＝ rad化为弧度即可. [触类旁通] 1.将下列角度与弧度进行互化： (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 答案　(1)15 330°　(2)－105°　(3)　(4)－ 题型二　用弧度制表示终边相同的角 [例2]　把下列各角化成2kπ＋α，0≤α＜2π，k∈Z的形式，并指出是第几象限角. (1)－1 500°；(2)；(3)－4. [自主解答]　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300° ＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角. (2)∵＝2π＋， ∴与终边相同，是第四象限角. (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角. [母题变式] 1.本例变为在区间[－5π，0]上，与2 020°终边相同的角为________________________. 解析