2.6.1.3 用正、余弦定理解决实际问题-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

第3课时　用正、余弦定理解决实际问题 学业标准 学科素养 1.掌握并正确使用仰角、俯角、方向角等测量中常用名称、术语.(难点) 2.能够运用正、余弦定理解决与距离、高度、角度等有关的实际问题.(重点) 1.通过常用测量概念的学习，重点培养数学抽象核心素养. 2.通过应用正、余弦定理解决一些与三角形有关的实际问题，重点提升数学运算、数学建模核心素养. [教材梳理] ◎导学　实际测量中的有关名称、术语 [问题]　方向角的表示方法. 如图所示，图①中的m°角描述为________，图②的n°角描述为________. [提示]　北偏西m°　南偏东n° ◎结论形成 实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角. 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角. [来源:Zxxk.Com] 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°). 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) [基础自测] 1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，[来源:学科网ZXXK] 则其跨度AB的长为(　　) A.12 m　　　　　　　 B.8 m C.3 m D.4 m[来源:学§科§网] 解析　由题意知，∠A＝∠B＝30°， 所以∠C＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，＝， 即AB＝＝＝4. 答案　D[来源:学科网ZXXK] 2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于(　　) A.50 m B.100 m C.50 m D.100 m 解析　因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 所以△ADC为等腰三角形. 所以AC＝DC＝100 m， 在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝50 m. 答案　A 3.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(　　) A.(＋)n mile/h B.(－)n mile/h C.(＋)n mile/h D.(－)n mile/h 解析　如图所示，设货轮航行到了A点，可利用正弦定理解△AMS.设货轮速度为x n mile/h，则AM＝3x， 在△AMS中，由正弦定理＝，得＝， 所以x＝(－). 答案　B 4.在高出海平面200 m的小岛顶点A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m. 解析　过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 m. 故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m. 答案　200(＋1) 题型一　测量距离问题 [例1]　某市电力部门在抗雪救灾的某项重建工程中，需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离.如图，现测量人员在相距 km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A，B距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？ [自主解答]　在△ACD中， 由已知可得，∠CAD＝30°， 所以AC＝CD＝ km. 在△CBD中，由已知可得， ∠CBD＝60°，sin 75°＝， 由正弦定理可得，BC＝＝， cos 75°＝， 在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠BCA＝5，所以AB＝(km). 因此施工单位至少应该准备电线长 km. [方法技巧] 测量距离问题的解题思路 测量距离问题一般分为三种类型：两点间不可达又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.解决此类问题的方法是选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解，构建数字模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中. [触类旁通] 1.如图，货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行，航行的方位角∠NBC＝140°，A处有灯塔，方位角∠NBA＝110°.在C处观察灯塔A的方位角∠N′CA＝35°，由B到C需要航行半小时，则C到灯塔A的距离是(　　) A.10 km　　　　　　　　 B.10 km C.10(－) km D.10(＋) km 解析　在△ABC