2.5.1 向量的数量积-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

§5　从力的做功到向量的数量积 5.1　向量的数量积 学业标准 学科素养 1.了解向量数量积的物理意义. 2.掌握向量的数量积、投影的定义，理解数量积的几何意义.(难点) 3.会用数量积的运算律和性质，解决模长、夹角、投影数量等问题.(重点) 1.通过向量数量积、投影的学习，主要培养数学抽象核心素养. 2.通过数量积的运算律、性质的应用，主要提升数学运算核心素养. [教材梳理] ◎导学1　向量的数量积的定义[来源:学.科.网Z.X.X.K] [问题]　如图，在力F的作用下，木块在水平方向上移动了5 m，若F＝3 N. (1)则力F做的功是多少？ (2)力做功的大小与哪些量有关？ [提示]　(1)3×5×cos 30°＝(J). (2)与力的大小、位移的大小及它们的夹角有关. ◎结论形成 向量数量积的定义 条件 非零向量a与b，a与b的夹角为θ. 结论 数量|a||b|cos_θ叫向量a与b的数量积(或内积). 记法 向量a与b的数量积记作a·b， 即a·b＝|a||b|cos_θ. 规定 零向量与任一向量的数量积为0. [提醒]　两向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b或ab的形式. ◎导学2　投影及数量积的几何意义 [问题]　在平面直角坐标系中 (1)过点A(1，1)，点B(3，2)向x轴引垂线，垂足分别为A1，B1.则向量在x轴方向上的投影向量及投影数量分别是什么？ [提示]　；||＝2. (2)过点C(－1，1)向x轴引垂线，垂足为C1则向量在x轴上的投影向量及投影数量分别是什么？二者有什么联系？ [提示]　向量，||；投影向量是一个向量，而投影的数量与投影的长度和向量与的夹角有关.当〈，〉为钝角时，向量在x轴上的投影的数量为－||. ◎结论形成 1.投影向量、投影数量 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到a在b上的投影γ＝，γ称为投影向量.|a|cos〈a，b〉称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·. 2.向量数量积a·b的几何意义 b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos_θ的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos_θ的乘积. ◎导学3　数量积的运算性质 [问题1]　如图，|a|＝|b|＝6，θ＝120°，比较a·b与b·a，(2a)·b与a·(2b)的大小. [提示]　a·b＝b·a＝18； (2a)·b＝36，a·(2b)＝36； 即(2a)·b＝a·(2b). [问题2]　若a，b，c均为非零向量，且a·b＝b·c，则a＝c正确吗？ [提示]　不正确.因为a·b＝c·b表示向量a，c在b上投影的数量相等，如图并不能说明a＝c. ◎结论形成 1.数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ： (1)交换律：a·b＝b·a； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)； (3)关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 2.数量积的性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔a⊥b； (3)a·a＝|a|2，即|a|＝； (4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立. [基础自测] 1.给出下面的关系式： ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2. 其中正确的个数为(　　) A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4 解析　显然①②③正确；|a·b|≥a·b，故④错误；(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2 θ，其中θ为a，b的夹角，故⑤错误. 答案　C 2.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)[来源:学*科*网] A.4 B.3 C.2 D.0[来源:学科网ZXXK] 解析　因为|a|＝1，a·b＝－1， 所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3， 故选B. 答案　B 3.若|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则b在a上的投影的数量为________，a在b上投影的数量为________. 解析　|b|cos 〈a，b〉＝4×＝－2，|a|cos 〈a，b〉＝－4. 答案　－2　－4 4.在边长为2的等边三角形ABC中，·的值为________. 解析　·＝2×2×cos 〈，〉 ＝4×cos 120°＝－2. 答案　－2 题型一　向量的数量积、投影数量 [例1]　(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求： ①a·b；②a2－