2.4.2 平面向量及运算的坐标表示-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

4.2　平面向量及运算的坐标表示 学业标准 学科素养 1.理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量运算的坐标表示.(重点)[来源:学科网ZXXK] 2.掌握向量平行的坐标表示，并能解决有关平行、点共线等问题.(难点) 1.通过平面向量的坐标运算，主要提升数学运算核心素养. 2.通过向量平行的坐标表示的应用，主要提升数学运算核心素养. [教材梳理] ◎导学1　平面向量的坐标表示 [问题]　如图，已知i，j分别是x，y轴上的单位向量，|a|＝r，∠AOx＝θ， (1)试用i，j表示a； (2)点A在坐标系中的坐标是什么？ [提示]　(1)a＝rcos θ·i＋rsin θ·j. (2)(rcos θ，rsin θ). ◎结论形成 向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量).有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.即a＝xi＋yj. 我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y). [点睛]　 对符号(x，y)的认识 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，又表示向量的方向. ◎导学2　平面向量运算的坐标表示 [问题]　在基{i，j}下，a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j(x1，x2，y1，y2∈R). (1)计算a＋b，a－b，2a； (2)若{i，j}是标准正交基，则a＋b，a－b，2a的坐标是什么？ [提示]　(1)a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，2a＝2x1i＋2y1j. (2)(x1＋x2，y1＋y2)，(x1－x2，y1－y2)，(2x1，2y1). ◎结论形成 平面向量运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 与减法 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. a±b＝(x1±x2，y1±y2). 数乘 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积. λa＝(λx1，λy1). 重要结论 1.一个向量的坐标： 2.中点坐标公式. 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). 线段AB中点M(x，y)的坐标：x＝，y＝. 等于其终点的坐标减去起点的坐标. ◎导学3　平面向量平行的坐标表示 [问题1]　若a，b都是非零向量，且a∥b，则a与b有何关系？ [提示]　a＝λb(λ∈R). [问题2]　若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，a∥b，它们的坐标应满足什么条件？ [提示]　(λ∈R). ◎结论形成 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a∥b(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. [拓展]　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). (1)当b≠0时，a＝λb(λ∈R)，这是几何运算，体现了a与b的长度及方向之间的关系. (2)x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征. [基础自测] 1.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　) A.(－7，－4)　 B.(7，4) 　 C.(－1，4)　 D.(1，4) 解析　设C(x，y)，则＝(x，y－1)， 又＝(－4，－3)，∴即 ∴C(－4，－2)，∴＝(－7，－4). 答案　A 2.已知点A(1，1)，B(4，2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为(　　) A.－ B. C. D.－ 解析　由题可得＝(3，1)，又a∥，所以3λ－2＝0，即λ＝. 答案　B 3.若a＝(x－2，5)，b＝(－1，y＋2)，且a＝b，则x＝________，y＝________. 解析　∵a＝b，∴，即 答案　1　3 4.若向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a与b共线且方向相同. 解析　∵a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a∥b，则x2－4＝0， 即x2＝4，∴x＝±2，当x＝－2时，a和b方向相反.当x＝2时，a与b方向相同. 答案　2 题型一　向量的坐标运算 [例1]　(1)已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　) A.　　　　　 B. C. D.(8，1) (2)已知A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，若＝2＋3，求点M的坐标； (3)已知A(1，－2)，B(2，1)，C