2.4.1 平面向量基本定理-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

§4　平面向量基本定理及坐标表示 4.1　平面向量基本定理 学业标准 学科素养 1.理解平面向量基本定理，了解向量的基、正交基的含义.(难点) 2.会用平面向量基本定理解决相关问题.(重点) 1.通过学习平面向量基本定理及基、正交基、正交分解的含义.主要培养数学抽象核心素养. 2.通过平面向量基本定理的应用，主要提升直观想象核心素养. [教材梳理] ◎导学　平面向量基本定理 [问题1]　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？ [提示]　能.依据是数乘向量和平行四边形法则. [问题2]　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ [提示]　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示. ◎结论形成 1.平面向量基本定理 (1)定理：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基：我们把不共线的向量e1和e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}. 2.正交分解 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基. [点睛]　 平面向量基本定理的理解 (1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，e1，e2的选取不唯一，即一个平面可以有多组基. (2)平面内的任一向量a都可以沿基{e1，e2}进行分解. (3)基{e1，e2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的. [基础自测] 1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　) A.e1－e2，e2－e1　　　　 B.2e1－e2，e1－e2 C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.e1＋e2，e1－e2 解析　由基底定义知e1＋e2与e1－e2不共线，故选D. 答案　D 2.如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为(　　) A.e1＋e2 B.－2e1＋e2 C.2e1－e2 D.2e1＋e2 解析　a＝－2e1＋e2. 答案　B[来源:学科网] 3.已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　) A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0 C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0 解析　由＝λ，得－＝λ(－)， 即＝(1＋λ)－λ.[来源:学科网ZXXK] 又2＝x＋y， ∴，消去λ得x＋y＝2. 答案　A 4.已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为________. 解析　∵a∥b，∴a＝λb，即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2， ∴x＝3λ，2＝λy，故xy＝3λ·＝6. 答案　6 题型一　对平面向量基本定理的理解 [例1]　(多选题)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A.λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B.对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C.若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D.若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 [自主解答]　根据平面向量基本定理，选项A正确；选项B不正确；若λ2＝μ2＝0时，λ的值可能不存在，故选项C不正确；选项D显然正确.故选B，C. [答案]　BC [反思提高] 两个向量是否能构成基，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来. [触类旁通] 1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是(　　) A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2 解析　∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)， ∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为平面的基. 答案　B 题型二　用一组基表示向量 [例2]　如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b.试用a，b表示，. [自主解答]　因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以＝＝a，＝＝＝b. ＝＋＋ ＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. [母题变式] 1.本例中条件不变，取BC的中点G，用a，b表示. 解析　＝＋＋＝－b＋a＋b＝a－