2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

3.2　向量的数乘与向量共线的关系 学业标准 学科素养 1.掌握共线向量基本定理，并能解决有关平行、点共线等问题.(重点) 2.理解直线的方向向量的概念，并能进行简单应用.(难点) 1.通过共线向量基本定理的应用，主要提升数学运算核心素养. 2.通过直线的方向向量的简单应用，主要培养直观想象核心素养. [教材梳理] ◎导学　共线向量基本定理、直线的方向向量 [问题1]　若a是非零向量，则λa与a有什么关系？如果b∥a(a≠0)，那么b＝λa是否成立？ [提示]　λa与a是共线向量；如果b∥a(a≠0)，那么b＝λa一定成立. [问题2]　能否用向量来刻画直线呢？ [提示]　能.需知一个点和一个非零向量a. ◎结论形成 1.共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb. [拓展]　(1)定理中b是非零向量.否则λ的值可能不唯一或不存在. (2)b是非零向量，a可以是0，这时0＝λb，所以有λ＝0，如果a不是0，那么λ是不为零的实数.即λ＝±. 2.直线的方向向量 如图.通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量. [基础自测] 1.若|a|＝3，|b|＝5且b与a方向相反，设b＝λa，则实数λ的值为________. 解析　λ＝－＝－. 答案　－ 2.若＝3，则直线AB与直线CD的位置关系为________. 解析　由题设知与为共线向量. 答案　重合或平行 3.点R在线段PQ上，且＝，设＝λ(λ∈R)，则λ＝________. 解析　由＝，可知5＝3(－)， 故＝－，即λ＝－. 答案　－ 4.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A.B，C，D　　　　 B.A，B，C C.A，B，D D.A，C，D 解析　因为＝＋＝2a＋4b＝2， 所以，共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线.故选C. 答案　C 题型一　向量平行及三点共线问题 [例1]　(1)已知两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2. 求证：A，B，D三点共线. (2)设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1＋ke2，(k∈R)，设＝e1＋3e2，＝2e1－e2，是否存在k值，使与方向相同？ [自主解答]　(1)证明　因为＝＋＋ ＝(2e1＋3e2)＋(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2) ＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)， 又＝2e1＋3e2，所以＝6. 所以与共线. 又因为AB，AD有公共点A， 所以A，B，D三点共线. (2)＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， 假设存在k，使与方向相同. 即存在λ＞0使＝λ. 所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)， 所以所以k＝－8＜0.[来源:Z,xx,k.Com] 故存在k值，使与方向相同，此时＝2. [母题变式] 本例(1)变为已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，判断A，B，D三点是否共线，并求的值. 解析　∵＝e1＋3e2， ＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2. 又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴＝2，∴∥. ∵AB与BD有公共点B， ∴A，B，D三点共线，＝2. [素养聚焦] 本题主要考查共线向量基本定理的应用，突出考查数学运算核心素养. [方法技巧] (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行. (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在直线有公共点，则这两条直线重合.例如，若＝λ，则与共线，又与有公共交点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法. [触类旁通] 1.设点O是直线AB外一点. 求证：P，A，B三点共线的充要条件是∃x，y∈R，使＝x＋y且x＋y＝1.(注：本题是课本P91例6的推广，给出了一个重要结论.注意掌握) 证明　先证必要性.若P，A，B三点共线， 则∃t∈R，使＝t，[来源:Z&xx&k.Com] 即－＝t－t， 故＝(1－t)＋t， 令x＝1－t，y＝t，则x＋y＝1，故得证. 再证充分性.若＝x＋y且x＋y＝1. 则＝x＋(1－x)， 即－＝x(－)， 从而＝x，且有公共点B. 故P，B，A三点共线. 题型二　用共线向量基本定理证明几何问题 [例2]　如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，用向量法证明EF∥AB，EF＝(AB＋DC). [自主解答]　证明　延长EF到点M，使得FM＝EF，连接CM，BM，EC，EB得▱ECMB， 由平行四边形法则得 ＝＝(＋). 因为AB∥DC， 所以，共线且同向，根据向量共线定理知