2.1 从位移、速度、力到向量-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

§1　从位移、速度、力到向量 学业标准 学科素养 1.了解向量的物理背景，理解零向量、单位向量的概念.(难点) 2.掌握向量的几何表示，理解相等向量、共线向量、向量夹角的含义.(重点) 1.通过学习向量的有关概念，重点提升数学抽象等核心素养. 2.会用有向线段表示向量，重点提升直观想象等核心素养. [教材梳理] ◎导学1　有向线段向量的概念与表示 [问题1]　在物理中，位移与距离是同一个概念吗？现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，怎样正确区分这些量呢？ [提示]　位移与距离不是同一个概念；这些量中有些只有大小，没有方向，但有些既有大小又有方向，因此应该从大小和方向两个方面对这些量进行区分. [问题2]　甲由A地向正北方向走了1 km，然后向正东方向又走了1 km，到达B地，问甲走的路程和位移各为多少？[来源:Zxxk.Com] [提示]　路程2 km，位移是向北偏东45°方向移动了 km. ◎结论形成 1.有向线段的概念及表示 具有方向和长度的线段称为有向线段(如图).以A为起点，B为终点的有向线段，记作.线段AB的长度称为有向线段的长度，记作||. 2.向量的概念 (1)定义：既有大小又有方向的量统称为向量. (2)表示 (3)向量的模 向量a的大小记作|a|，称为向量的模. 3.零向量与单位向量 长度为0的向量称为零向量，记作0或，任何方向都可以作为零向量的方向.模等于1个单位长度的向量称为单位向量. ◎导学2　向量的基本关系 [问题]　如图，△ABC中，D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则与，与是什么关系？ [提示]　与是平行向量(共线向量)，与是相等向量. ◎结论形成 1.相等向量 是指它们的长度相等且方向相同.向量a与b相等，记作a＝b.若两条有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量相等，代表相等向量的有向线段与起点位置无关. 2.共线向量 若两个非零向量a，b的方向相同或者相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b. 3.相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.若其中一个向量为a，则它的相反向量记作－a. 4.规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量. ◎导学3　向量的夹角 [问题]　正△ABC中，∠ABC等于多少？向量与的夹角是多少？ [提示]　∠ABC＝，而与的夹角是. ◎结论形成 向量的夹角 定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角[来源:学科网] 范围 [0，π] 特殊 θ＝0 a与b同向 θ＝π a与b反向 θ＝ a与b垂直，记作a⊥b，规定0可与任一向量垂直 [基础自测] 1.如图在⊙O中，向量，，是(　　) A.有相同起点的向量　　　 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 答案　C 2.已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　) A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 解析　终点是N而不是M. 答案　D 3.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是(　　) A.＝ B.与共线 C.与是相反向量 D.＝|| 解析　根据向量的概念可知选D. 答案　D 4.如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出________个不同的向量.向量与的夹角等于________. 解析　由图可知，以A为始点的向量有，，，，，，，共有7个. ∵＝，∴向量与的夹角等于. 答案　7　 题型一　向量的有关概念 [例1]　给出下列六个命题： ①若两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b； ③若＝，则四边形ABCD是平行四边形； ④在平行四边形ABCD中，一定有＝； ⑤若m＝n，n＝k，则m＝k； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中不正确的命题的个数为(　　) A.2　　　　 B.3　　　　 C.4　　　　 D.5 [自主解答]　两个向量始点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有始点相同、终点相同，故①不正确.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确.③也不正确，因为A，B，C，D可能落在同一条直线上.零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b＝0，则a与c就不一定平行了.因此⑥也不正确. [答案]　C [反思提升] 对向量的有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，