专题十六 数列不等式证明-放缩、裂项（含解析）-2021届高三（新高考）二轮复习专项训练

专题十六：数列不等式证明-放缩、裂项（原卷版） 1、 裂项相消 1．已知等差数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 2．已知为等差数列的前项和，，． （1）求； （2）记数列的前项和为，证明：． 3．已知等差数列的前项和，满足. （1）求的值； （2）设，数列的前项和为，求证：. 4．已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列. （1）求数列的通项公式. （2）设数列的前项和为，求证: 5．已知数列的前项和为，且，，3成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）证明：对一切的正整数，有. 6．已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：． 7．已知等比数列的各项均为正数，且，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求证：． 8．给定三个条件：①，，成等比数列，②，③，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答. 问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，___________. （1）求数列的通项； （2）若，数列的前项和，求证：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 9．已知数列的前项和为，且，． （1）求； （2）设，求使得成立的最小正整数． 10．已知数列的前项和为，. （1）证明数列为等比数列并求其通项公式； （2）若，设数列的前项和，求使成立的最小正整数. 2、 放缩法 11．已知数列满足，，（其中、为常数，）. （1）若，，求数列的通项公式； （2）若，，数列的前项和为.证明：，. 12．已知数列的各项均为正数，记数列的前项和为，数列的前项和为，且，. （1）求的值及数列的通项公式； （2）若有，求证： 13．已知数列满足，，. （1）设，求证：数列是等比数列； （2）设数列的前项和为，求证：，. 14．设数列的前项和为，已知，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求满足的正整数的最小值． 15．数列的前项和为，，满足，设，数列的前项和为． （1）求； （2）设，数列的前项和为，求证：． 16．设等差数列的前n项和为，等比数列的公比为，前n项和为，已知，，，. （1）求. （2）设，数列的前n项和为，求证：. 17．设等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，，，求证：的前项和. 18．已知数列满足，，数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求证：． 19．已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 20．已知数列满足. （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，，证明：. $专题十六：数列不等式证明-放缩、裂项（解析版） 1、 裂项相消 1．已知等差数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】 解：（1）设数列的公差为，在中，令，得， 即，故①. 由得，所以②. 由①②解得，. 所以数列的通项公式为：. （2）由（1）可得， 所以， 故， 所以. 因为，所以. 2．已知为等差数列的前项和，，． （1）求； （2）记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【详解】 （1）设等差数列的公差为，则， ∴由题意，有，得，． ∴． （2）， ∴，． 3．已知等差数列的前项和，满足. （1）求的值； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】 （1）由题意知，当时，， 当时，由，所以， 当时，由，所以， 因为为等差数列，所以，所以. （2）由（1）知，，则， ∴， ∴， 上式减下式得： ， ∴， ∵，∴是关于的增函数，即， 又易知，故. 4．已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列. （1）求数列的通项公式. （2）设数列的前项和为，求证: 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】 （1）由为等差数列， 得，则 又构成等比数列， 所以， 即 解得或(舍)， 所以; （2）因为， 所以 5．已知数列的前项和为，且，，3成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）证明：对一切的正整数，有. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】 （1）因为，，3成等差数列，所以，① 当时，，得； 当时，，② ①②可得，即，即， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列，所以. （2）由（1）得， 所以 . 6．已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】 （1）由题意： ① 当时， ② ①－②得，即， 当时，满足上式， 所以． （2）因为， 所以， 所以 又，所以． 7．已知等比数列的各项均为