专题十五 构造法求数列（含解析）-2021届高三（新高考）二轮复习专项训练

专题十五：构造法求数列（解析版） 1．已知数列的通项公式为. （1）求数列的前项和 ； （2）设，求的前项和 . 【答案】（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）将代入，是等差数列，由此求得；（2）化简，利用裂项求和法求得前项和. 试题解析： （1）,所以是首项为，公差为的等差数列.所以. （2） . 2．已知数列满足，. （1）求证数列是等差数列，并求出的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【解析】 试题分析：（1）可化为，即是，即证数列是等差数列；（2）由（1）知，用错位相减法求和即可求得数列的前项和. 试题解析：（1）由得. ， 故数列是首项为1，公差为1的等差数列. ∴，. （2）由（1）知：， ∴ 相减得 ， ∴. 3．已知数列的前项和为，且，，，为等比数列. （1）求证：是等差数列； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）利用，，，为等比数列，可得，从而，即可证明结论；（2）由于数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和即可． 试题解析：（1）∵，，∴， ∴，∴是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可得，∴， ∴ ① ② 由①-②得，∵，∴. 4．设数列的前项和为，已知，（）． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）见解析；（2）． 【详解】 试题分析：（1）利用，，推导出，由此能证明是等比数列；（2）由已知条件推导出，由此利用错位相减法能求出数列的前项和． 试题解析：（1）由，及，得， 整理，得，，又， 是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1），得，（）． ，① ，② 由②①，得 5．已知数列满足，． （1）求，， （2）是否存在一个实数，使得数列成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 （3）求数列的前项和 【答案】 ， 【解析】 解：（1） （2）假设存在一个实数，使数列成等差数列， 则 恒为常数 即 此时 ， 时，数列是首项为2，公差为1的等差数列． （3）由（2）得 令 …… ① …… ② ①--②得： 6．已知数列满足，. （Ⅰ）求证为等比数列，并数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）将递推公式变形得，从而证明为等比数列，得到数列的通项公式；（Ⅱ）整理数列的的通项公式，结合特点采用错位相减法和分组求和法求和 试题解析：（Ⅰ）由题可得，又，所以为等比数列， 且，所以； （Ⅱ），设的前项和为， 所以 所以, 所以 7．已知数列满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：对，. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】 （1）由可得， ∵，∴，依此类推， ∴，∴， ∴数列是首项为2，公差为1的等差数列， ∴，即， （2）证明：，故 对1，2，3… ， ∴ . 8.已知数列满足，． （1）求数列的通项公式; （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1），， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，整理可得：； （2）由（1）可得：， . 9．已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列； （2）设，证明：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【详解】 （1）因为， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）知，， 所以，当时，， 所以. 10．在数列中，，对，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） . 【详解】 （1）， ，又， 数列是首项、公差均为1的等差数列． ，所以； （2）由（1）得， ， ． 11．已知数列{}、{}满足：. （1）求 （2）证明：数列{}为等差数列，并求数列和{}的通项公式； （3）设，求实数为何值时恒成立. 【答案】（1）；（2），； 【详解】 试题分析：（1）由已知可得； （2）由 可得， 从而，即， 可得数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列，从而 即可得； （3）由（1）得， 因此， 原命题可转化为恒成立即可满足条件. 设,易得当＝1时，原命题恒成立, 当>1时，原命题不可能成立. 当<l时，对称轴, f（n）在为单调递减函数． 由可得，即<1时恒成立. 综上可得≤1时，恒成立. 考点：1、等差数列的定义；（2）数列的前n项和公式；（3）裂项相消法；（4）二次函数的性质. 12．已知数列满足且（）. （1）求数列的通项公式； （2）设，且为的前项和，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）运用等比数列的知识求解即可；（2）借助题设条件运用简单的缩放的方法进行推证即可. 试题解析：（1）