专题十四 条件选择型数列问题（含解析）-2021届高三（新高考）二轮复习专项训练

专题十四：条件选择型数列问题（解析版） 1．已知等差数列的前项和为． （1）请从下面的三个条件中选择两个作为已知条件，求数列的通项公式； ①；②；③； 注：如果采用多种条件组合作答，则按第一个解答计分. （2）在（1）的条件下，令，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【详解】 解：（1）选择条件①②，①③，②③对应的基本量如下： 由，即 由，即 由，即 解得， 所以. （2）. 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 2．给定三个条件：①，，成等比数列，②，③，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答. 问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，___________. （1）求数列的通项； （2）若，数列的前项和，求证：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】条件选择见解析；（1）；（2）证明见解析. 【详解】 解：（1）设等差数列的公差为. 选条件①：∵，，，成等比数列， ∴， 解得，故数列的通项. 选条件②：∵，∵，∴，解得， 故数列的通项. 选条件③：∵，，∴， 解得，故数列的通项. （2）∵， ∴ . 3．①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由. 问题：等差数列前n项和为，若___________，是否存在，使得且？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【详解】 解：若存在，使得且，则，.设等差数列首项为，公差为. 若选择条件①： 由，得，解得. 所以. 令，得，所以当时，满足，， 所以k=5满足题意. 若选择条件②： 由，得，解得. 所以. 由，得.所以当时，满足，. 所以k=5满足题意. 若选择条件③： 由，得，解得. 所以. 易知恒成立， 所以不存在满足条件的. 4．条件①：设数列的前项之和为，且． 条件②：对，有（为常数），，并且成等差数列．在以上两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答． 在数列中，_____________． （1）求数列的通项公式； （2）记，求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1）条件性选择见解析，；（2） 【详解】 选条件①，由得 当时，， 又 ∴数列的通项公式为 选条件②，（1）知数列是公比为的等比数列， 且 由已知可得： 即: 解得（舍去） （2） （或） 5．从下列①②③选项中，选择其中一个作为条件进行解答： ①已知数列的前n项和； ②已知数列是等比数列，，； ③已知数列中，，且对任意的正整数m，n都有． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前2021项的和． 【答案】（1）条件选择见解析；；（2）. 【详解】 （1）若选①，当时，, 当时，，显然当时，也适合， 所以. 若选②，设等比数列的公比为， 因为，，所以有， 解得，，. 若选③，令，是以为首项，公比为的等比数列， 因此； （2）由题意知，， . 6．从①，②为等差数列且，，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答. 问题：已知数列，满足，且___________. （1）证明：数列为等比数列； （2）若表示数列在区间内的项数，求数列的前项的和. 【答案】条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）. 【详解】 （1）选择①，因为， 当时，， 当时，，时也成立，故， 所以，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 若选择②，设数列公差为， 由题意 得得， 所以，所以. 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）若选择条件①，则， 所以对应的区间为，则；对应的区间为，则； 对应的区间为，则；……；对应的区间为，则； 所以. 若选择条件②，则， 所以对应的区间为，则；对应的区间为，则； 对应的区间为，则；……；对应的区间为，则； 所以. 7．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 问题：已知等差数列的前项和为，，________，若数列满足，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析. 【详解】 解：（1）选择①，设公差为 由，得，所以， 解得，所以， 又因为，所以， 所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以． （2）选择②，设公差为 因为，所以可得 又因为，所以，所以，所以． 又因为，所以， 所以数列是以16为首项，2为公比的等比数列， 所以 （3）选择③，设公差为 因为，可得，即，所以， 又因为，所以．