卷10-备战2021年高考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（广东专用）·5月卷

绝密★启用前|学科网考试研究中心命制 备战2021年高考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·5月卷 第十模拟 1．（2021·全国高三专题练习）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（ ） A．77 B．49 C．45 D．30 【答案】C 【分析】 先找到集合A中元素的个数，再找到集合B中元素的个数，并把这些元素在坐标系中表示出来，最后确定中元素的个数. 【详解】 因为集合， 所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点， 集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点， 集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个． 故选：C. 【点睛】 方法点睛：求集合A中元素的个数，常用以下方法：（1）列举法；（2）数形结合法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 2．（2021·河南高三月考（理））给出下面四个命题： ①若复数满足，则； ②“”是“点到直线的距离为”的充要条件； ③直线的倾斜角的取值范围为； ④离心率为的双曲线的渐近线方程为． 其中真命题的个数为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 ①由条件，1是实数得结论； ②求出点(2,1)到给定直线的充要条件，再分析比较； ③由直线斜率的范围求出倾斜角的范围； ④给定离心率的双曲线焦点可能在x轴上，也可能在y轴上. 【详解】 ①正确； ②若点到直线的距离为，则．或， 所以“”是“点到直线的距离为”的充分不必要条件， 所以②不正确； ③直线的斜率为，直线的倾斜角为， 所以， 所以直线倾斜角的取值范围为， 所以③不正确； ④双曲线离心率为，可得，即， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为或， 所以④不正确. 故选：A 【点睛】 (1)含参数的直线倾斜角范围，若求得斜率是某负数到一正数的区间，必须分成负和非负两部分求解； (2)给定双曲线离心率求其渐进线，要考虑焦点位置. 3．（2021·全国高三专题练习（理））已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】 先化简，再利用复数的除法化简得解. 【详解】 . 所以复数对应的点在第四象限， 故选：D 【点睛】 结论点睛：复数对应的点为，点在第几象限，复数对应的点就在第几象限. 4．（2021·安徽高三月考（理））已知函数，，且都有，满足的实数有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数有且只有1个；②满足题目条件的实数有且只有1个；③在上单调递增；④的取值范围是.其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 首先利用整体换元，将函数转化为图象易画的的图象，之后根据余弦函数的图象与性质对选项进行验证即可. 【详解】 ∵，∴当时，. 设，作出函数的图象如下图所示： 由于函数在上满足的实数有且只有3个， 即函数在上有且只有3个零点， 由图象可知，解得，故结论④不正确； ∵， ∴由图象知，在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点， 故结论①正确，结论②错误； 当时，， 由知， 所以在上单调递增， 故函数在上单调递增，故结论③正确. 综上，正确的有①③. 故选：B. 【点睛】 求解与或相关的图象与性质问题时，经常用到换元法，已知，可得的取值范围，进而利用正弦函数或余弦函数的图象进行讨论即可.需要注意的是求的取值范围时，要注意的正负. 5．（2021·山东高三专题练习）若向量，且与共线，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由向量坐标运算得，，进而得解方程即可得答案. 【详解】 ， ，， 与共线， ，解得. 故选:B. 【点睛】 结论点睛：已知，若，则. 6．（2021·全国高三月考）已知数列的前项和满足，则数列的最大项为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】 通过与的关系可得数列是等比数列，进而得，求出得的通项公式，利用作差法判断的单调性，进而可得结果. 【详解】 当时，，．当时，， 即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 所以， 所以，故的最大值为， 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：求出数列的通项公式，利用作差法判断出数列的单调性. 7．（2021·山西高三二模（理））已知圆与圆相交于，两点，且，给出以下结论：①是定值；②四边形的面积是定值；③的最小值为；④的最大值为，则其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先根据示意图得到为等边三角形，从而就可以判断①，又可以计算四边形的面积，进而判断②，再根据得到，最后利用基本不等式求得，的最值. 【详解】 根据题意画出示意图： 设直线AB与OM交于点C，则点C为AB中点且, 因为,所以为等边三角形，故, ,故①正