05挑战压轴题（解答题（三））-2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（湖南长沙卷）

2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（湖南长沙卷） 05挑战压轴题（解答题（三）） 1. （2020年长沙中考第25题）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE。 （1） 求∠AOB的度数； （2） 当点C沿着劣弧AB从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度； （3） 分别记△ODE、△CDE的面积为，当时，求弦AC的长度。 【答案】（1）∠AOB=120° （2） （3）AC= 【解析】（1）如图，过点O作AB垂线OF，可知OA=4，AF=，所以OF=2 ∴∠AOF=60°，∴∠AOB=120° （2）如图，连接OC，取OC中点G，连接DG、GE。 ∵D、E分别为AC、BC中点，∴OD⊥AC，OE⊥BC ∴DG=OG=GE=GC=2 ∴G为△DOE的外心，且G在以O为圆心、半径为2的圆弧上运动 ∴ （3）如图所示，作CC1∥AB，CM⊥AB，交DE于点P，OQ⊥DE，交AB于点N。 设△CDE的高CP=h1，△ODE的高OQ=h2，则： ∵ ∴ ∵NQ=CP=h1 ∴ 即OH= ∴CH==MN ∵ ∴ ∵ ∴ 根据对称性可知，当C位于C1位置时，仍成立，此时AC1=BC 同理计算可得：BC= ∴AC= 2.（2019长沙中考第26题）如图，抛物线(a为常数，a＞0)与轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为(t，0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C． （1）求点的坐标； （2）过点C作⊙P切线CE交轴于点E．①如图1，求证：CE=DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当，∠CAE=∠OBE时，求的值 【答案】（1）（－6,0）；（2）①见解析 ；② 【解析】（1）令y=0，可得ax（x+6）=0，则A点坐标可求出； （2）①连接PC，连接PB延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD=∠COE，则CE=DE； ②设OE=m，由CE2=OE•AE，可得m=，由∠CAE=∠OBE可得，则m=，综合整理代入可求出的值． 【详解】（1）令ax2+bax=0 ax（x+6）=0 ∴（－6,0） （2）连接PC，连接PB延长交x轴于M 过O、A、B三点，B为顶点 ，° 又∵PC=PB ， ∵CE为切线 °， 又 ， ∴CE=DE， （3）设OE=m，即E（m,0） 由切割定理：CE2=AE·OE ， ，已知， 由角平分线定理： 即： 由①②得 ∴t2=－18t－36 3.（2018年长沙中考第26题）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”． （1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　 　； ②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形　 　“十字形”．（填“是”或“不是”） （2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围； （3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①；②；③“十字形”ABCD的周长为12． 【分析】（1）利用“十字形”的定义判断即可； （2）先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC⊥BD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2=2﹣（AC2+BD2），即可得出结论； （3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），求出S=AC•BD=﹣（ac+c）×，S1=OA•OB=﹣，S2=OC•OD=﹣，S3=OA×OD=﹣，S4=OB×OC=﹣，进而建立方程+=+，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=3，进而求出c=﹣9，即可得出结论． 【解析】（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直， ∴菱形，正方形是：“十字形”， ∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直， ∴平行四边形，矩形不是“十字形”， 故答案为：菱形，正方形； ②如图， 当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴