04挑战压轴题（解答题（二））-2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（湖南长沙卷）

2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（湖南长沙卷） 04挑战压轴题（解答题（二）） 1. （2020年长沙中考第24题）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”。根据该约定，完成下列各题。 （1） 在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号内打“√”，不是“H函数”的打“×”。 1 （ ） ② （ ） ③ （ ） （2） 若点A（1，m）与点B（n，-4）是关于x的“H函数”的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求a、b、c的值或取值范围。 （3） 若关于x的“H函数”同时满足下列两个条件： 1 ， ② ，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围。 【答案】（1）√、√、× （2）-1<a<0，b=4，0<c<1 （3） 【解析】（1）根据题意，易知“H函数”图像上存在关于原点对称的点。①、②图像均关于原点对称，故为“H函数”；对于函数③，变形为：，令，无解，故不是“H函数”。 （2）∵若点A（1，m）与点B（n，-4）是关于x的“H函数”的一对“H点” ∴m=4，n=-1 ∴A（1，4） B（-1，-4） 代入中，得: 解得： ∵函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧 ∴ ∴ 解得： ∵ ∴-1<a<0，b=4，0<c<1 （3）是H函数，∴至少存在不同的两点关于原点对称的“H点” 设H点坐标分别为（m，n）；（-m，-n），则: ∴ 因为 ∵   ∵ ∴ ∴ 即： ∴ ∴ 令 设函数与x轴的两个交点分别为、，则是方程的两根 ∴ ∵函数递减，所以当t=-2时取最大值，当t=0时取最小值 ∴ 2.（2019年长沙中考第25题）已知抛物线(b，c为常数)． （1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b，c的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数m，n( m<n)，当时，恰好有，求m，n的值． 【解析】（1）由题可设 去括号得： （2）设抛物线上关于远点对称且不重合的两点坐标分别为 代入解析式可得： ∴两式相加可得： （3） 由（1）可知抛物线为，∴ ∵抛物线对称轴x=1，开口向下 ∴当时，y随x增大而减小 ∴当x=m时， 当x=n时， 又∵ 将（1）式整理得： 变形得： 即： 同理整理（2）式得： ∴综上所示：m=1，n= 3.（2018年长沙中考第25题）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B． （1）求∠OCD的度数； （2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标； （3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由． 【分析】（1）想办法证明OC=OD即可解决问题； （2）设M（a，），由△OPM∽△OCP，推出，由此构建方程求出a，再分类求解即可解决问题； （3）不存在分三种情形说明：①当1＜x＜5时，如图1中；②当x≤1时，如图2中；③当x≥5时，如图3中； 【解答】解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有，解得， ∴y=﹣x+m+!，令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1）， 令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），∴OC=OD，∵∠COD=90°， ∴∠OCD=45°． （2）设M（a，），∵△OPM∽△OCP，∴， ∴OP2=OC•OM，当m=3时，P（3，1），C（4，0）， OP2=32+12=10，OC=4，OM=，∴，∴10=4， ∴4a4﹣25a2+36=0， （4a2﹣9）（a2﹣4）=0， ∴a=±，a=±2， ∵1＜a＜3， ∴a=或2， 当a=时，M（，2）， PM=，CP=， （舍弃）， 当a=2时，M（2，），PM=，CP=，∴，成立， ∴M（2，）． （3）不存在．理由如下： 当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，）， OP的解析式为：y=x，OQ的解析式为y=5x， ①当1＜x＜5时，如图1中， E ∴E（，），F（x，x）， S=S矩形O