03挑战压轴题（解答题（一））-2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（湖南长沙卷）

2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（湖南长沙卷） 03挑战压轴题（解答题（一）） 1. （2020年长沙中考第23题）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F。 （1） 求证：△ABF∽△FCE； （2） 若AB=，AD=4，求EC的长； （3） 若，记∠BAF=，∠FAE=，求的值。 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】（1）由题可知，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90° ∵∠AFB+∠BAF=90°，∴∠CFE=∠BAF 又∵∠B=∠C ∴△ABF∽△FCE （1） 由题可知，AF=AD=4 ∴BF= ∴CF=BC-BF=AD-BF=4-2=2 又∵△ABF∽△FCE， ∴ 即： ∴CE= （2） 设CE=1，DE=x 则AE=x+2 AD=，AB=CD=x+1 ∴BF= CF= ∵△ABF∽△FCE ∴ 解得：x=2 ∴ 2.（2019年长沙中考第24题）根据相似多边形定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题） ②三个角分别相等两个凸四边形相似；（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题） （2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． （3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值． 【答案】（1）①假，②假，③真；（2）见解析 ；（3） 【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断． （2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可． （3）四边形ABFE与四边形EFCD相似，证明相似比是1即可解决问题，即证明DE=AE即可． 【详解】解（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题． 故答案为假，假，真． （2）证明：分别连接BD，B1D1 ，且 ， ，，， ，，， ，，，， ，，，， 四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似. （3）如图2中， ∵四边形ABFG与四边形EFCD相似，， ，， ，，， ，，， ，即AE=DE， 3.（2018年长沙中考第24题）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3． （1）求CE的长； （2）求证：△ABC为等腰三角形． （3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． 【分析】（1）证明AD为△BCE的中位线得到CE=2AD=6； （2）通过证明△ABD≌△CAD得到AB=AC； （3）如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中利用勾股定理得到（R﹣3）2+42=R2，解得R=，则PD=，再利用面积法求出r=，即QD=，然后计算PD+QD即可． 【解答】（1）解：∵AD是边BC上的中线，∴BD=CD， ∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，∴CE=2AD=6； （2）证明：∵BD=CD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△CAD， ∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形． （3）如图，连接BP、BQ、CQ，在Rt△ABD中，AB==5， 设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r， 在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=，∴PD=PA﹣AD=﹣3=， ∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，∴•r•5+•r•8+•r•5=•3•8，解得r=， 即QD=，∴PQ=PD+QD=+=． 答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为． 1.（2020·湖南长沙市·九年级月考）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形中，若，，则称四边形为准平行四边形． （1）如（图①），、、、是⊙O上的四个点，，延长到，使．求证：四边形是准平行四边形； （2）如（图