02挑战压轴题（填空题）-2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（湖南长沙卷）

2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（湖南长沙卷） 02挑战压轴题（填空题） 1. （2020年长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M、N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F。 （1） （2）若，则 【答案】（1）1 （2） 【解析】 （2）由射影定理： ∵ ∴QN=PM 设QN=PM=m MQ=x 则 2.（2019年长沙）如图，函数(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA=30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若，则MD=2MA．其中正确的结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【解析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断． ②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立． ③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA=OM=AM，可得1+k2=m2+，推出m=k，根据OM=AM，构建方程求出k即可判断． ④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 解：①设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y=-x++， ∴C（m+n，0），D（0，）， ∴， ∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确； ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称， ∴O是AB的中点， ∵BM⊥AM， ∴OM=OA， ∴k=mn， ∴A（m，n），M（n，m）， ∴， ∴AM不一定等于OM， ∴∠BAM不一定是60°， ∴∠MBA不一定是30°．故②错误， ∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k）， ∵△OAM为等边三角形，∴OA=OM=AM， 1+k2=m2+，∵m＞0，k＞0，∴m=k， ∵OM=AM，∴（1-m）2+(k−)2=1+k2， ∴k2-4k+1=0，∴k=2±，∵m＞1， ∴k=2+，故③正确， 如图，作MK∥OD交OA于K． ∵OF∥MK，∴，∴， ∵OA=OB，∴，∴， ∵KM∥OD，∴，∴DM=2AM，故④正确． 故答案为①③④． 3.（2018年长沙）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=　 　度． 【答案】50° 【解析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出求出∠OCB的度数。 解：∵∠A=20°， ∴∠BOC=40°， ∵BC是⊙O的切线，B为切点， ∴∠OBC=90°， ∴∠OCB=90°﹣40°=50°，故答案为：50° 1．（2021·湖南长沙市一中双语实验中学九年级期末）如图，双曲线（）经过矩形的顶点，双曲线（）交，于点、且与矩形的对角线交于点，连接．若，则的面积为______． 【答案】 【分析】 设点D的坐标，则由OD:BD=2:3及其它已知可分别求得A、B、E、F的坐标，从而可得BF、BE的长，由点B、D分别在双曲线上，可求得k的值及点D的两个坐标间的关系，最后求得结果． 【详解】 如图，过点D作DM⊥OA于点M ∵四边形OABC为矩形 ∵AB⊥OA，OC=AB，BC=OA ∴DM∥AB ∴△ODM∽△OBA ∴OD:OB=DM:AB=OM:OA 设D(2m,2n)，其中m、n均为正数，则OM=2m，DM=2n ∵D点在双曲线上 ∴4mn=4 即 ∵OD:BD=2:3 ∴OD:OB=2:5 ∴DM:AB=OM:OA=2:5 ∴OA=5m，AB=5n ∴A（5m,0），B(5m,5n) ∵B点在双曲线上 ∴ 即k=25mn=25 ∴ ∵E、F在双曲线上 ∴ ， ∴AE=，CF= ∴BF=BC−CF=OA−CF= ， BE=AB−AE= ∴ 故答案为： 【点睛】 本题的关键是OD:BD=2:3这个条件，由此条件，设点D的坐标后，则由相似转化为A、B两个点的坐标与D点的坐标关系，从而求得A、B的坐标；本题的难点在于求不出点D的两个坐标，且运算有点复杂，部分学生常常会因此放弃． 2．（2020·湖南长沙市一中金山桥学校九年级月考）如图，在第一象限内，动点P在反比例函数的图象上，以P为顶点的等腰，两腰、分别交反比例函数的图象于A、B两点，作于点C，于点，于点D，则以下说法中正确的序号为______． ①为定值；②若，则A为中点；③；④． 【答案】①②③④