河南省开封市铁路中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷

开封市铁路中学2020－2021期中考试试卷 高二年级 数学试卷 （时间：120分钟  满分：150分） 一、单选题 1．已知集合 ，，则 （ ） A． B． C． D． 2．根据如下样本数据，得到回归直线方程 ，则（ ） 3 4 5 6 7 8 -3.0 -2.0 0.5 -0.5 2.5 4.0 A． ， B． ， C． ， D． ， 3．设复数 ，则复数 的虚部是（ ） A． B． C． D． 4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S8＝（ ） A．44 B．24 C．20 D．12 5．函数 的部分图像象是 A． B． C． D． 6．已知双曲线的两条渐近线夹角为 ，且 ，则其离心率为（ ） A． B．2或 C． D． 或 7．已知角α终边上一点M的坐标为 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．已知 为抛物线 的焦点，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，若 ，则线段 的中点 到抛物线 的准线的距离为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．在 中， ， 为 的中点，则 （ ） A． B． C． D． 10．函数 ，有两个不同的零点，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 11．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是 A． B． C． D． 12．函数 部分图象如图所示，则 （ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．曲线 在点 处的切线方程为________． 14．已知平面向量 ，则 _____． 15．已知实数 ， 满足约束条件 则 的最小值为______. 16．在四棱锥 中， ， 平面 ，底面 为正方形，且 ，若四棱锥 的每个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积的最小值为_____. 三、解答题 17．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ， 的面积为 ，求 及 的值. 18．某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人.某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者. （1）分别写出各专业选出的志愿者人数； （2）将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者 与播音主持专业的志愿者分在一组的概率. 19．已知等比数列 的前 项和为 ，其中 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）若 为递增数列，求数列 的前 项和. 20．在四棱锥 中，四边形 为平行四边形， 为等腰直角三角形， ， ， ． （1）求证： ； （2）（理科）求直线 与面 所成角的正弦值． （文科）求四棱锥 的体积. 21．已知椭圆 过点 ， . （1）求 的方程； （2）经过 ，且斜率为 的直线 交椭圆 于 ､ 两点(均异于点 )，证明：直线 与 的斜率之和为定值. 22．已知函数 . （1）若 ，求函数 的单调区间； （2）对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 参考答案 1．C 2．C 3．D 4．A 5．A 6．D 7．D 8．A 9．A 10．C 11．B 12．D 13． 14． 15． . 16． 17． 【详解】 （1）因为 ，可得： ， ∴ ，或 （舍），∵ ， ∴ . （2）由余弦定理 ， 得 所以 ， 故 ， 又 ， 所以 ， 所以 . 18． 【详解】 （1）由题可知选取比例为 ,故表演专业 人,播音主持专业 人,影视编导专业 人. （2）设表演专业的3位志愿者为 , , ,播音主持专业的志愿者为 ；影视编导专业的志愿者为 , .则符合条件的所有可能结果有以下6种： ① , , ； ② , , ； ③ , , ； ④ , , ； ⑤ , , ； ⑥ , , . 其中 与 分在一组的情况恰有2种,设所求事件为 ,则 . 19． 【详解】 （1）设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，其中 ， . 则： ，解得 或 ，故 或 . （2） 为递增数列，故 EMBED Equation.DSMT4 所以 EMBED Equation.DSMT4 . 20． 【详解】 解：（1）设 的中点为E，连接 与 ， 因为 是等腰三角形， ， 所以 ， 又因为 ， 所以 平面 ， 所以 ， ， 所以 是等腰直角三角形， 则 ． （2）由（1）可知 平面 ， 故 ， 平面 平面 ， 又因为 ， ， ， 易知 ， 所以 ． 如图